Énigmes et équations

Notons $x$ le nombre de garçons. Le $x$-ème garçon danse avec $5+(x-1)$ filles, et donc&- on a $x+5+(x-1)=20$ ce qui donne $x=8$.

Il y a donc 8 garçons et 12 filles.

Il y avait 4 garçons et 3 filles. Si on note $x$ le nombre de garçons et $y$ le nombre de filles, la première phrase nous dit en effet que $x-1=y$, alors que la deuxième nous dit que $2(y-1)=x$. On en déduit que $2y-2=y+1$, soit $y=3$ et donc $x=4$.

Ainsi, il y avait $4$ garçons et $3$ filles.

Notons

Le nombre de têtes vaut donc $x+y$. Le nombre de jambes et de pattes vaut $2x+4y$. $x$ et $y$ sont donc solutions du système suivant : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y&=&22\\ 2x+4y&=&68 \end{array}\right.$$ Il reste à résoudre ce système, et on obtient $x=10$ et $y=12$.

Notons $x$ l'âge de Diophante. Les diverses informations données par le poème conduisent à l'équation suivante : $$x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x.$$ On obtient facilement la solution : $x=84$.

Notons $x$ mon âge (actuel). L'âge d'Erwan est donc $x-24$. L'âge qu'Erwan avait quand j'avais l'âge d'Erwan actuel est donc $(x-24)-24=x-48$. Mon âge actuel est deux fois cet âge là, et donc $x=2(x-48)$, c'est-à-dire $x=96$. J'ai donc 96 ans, et Erwan 72. Nous somme de vieux papys maintenant !

On va se ramener à un système d'équation à 3 inconnues. On note $x,y,z$ les âges respectifs de Timothée, de sa soeur, et de son père. La première équation, est facile à obtenir : puisque la somme des âges est égale à une siècle, on a $$x+y+z=100.$$ Analysons les autres phrases :

On résoud le système, en ayant déjà remarqué que $z=50$. Il vient $y=50-x$ et $y=2x$, soit $100=3x$, soit $x=50/3$, et donc $y=100/3$.

On note $x$ le chiffre des dizaines de mon âge (actuel), et $y$ le chiffre des unités. $xy$ est donc mon âge, et $yx$ est celui de ma fille. Notre différence d'âge est $xy-yx$, c'est donc l'âge que j'avais à sa naissance.

Or, $xy-yx=10x+y-10y-x=9(x-y)$. C'est donc un multiple de 9, qui est compris entre 20 et 30. Mon âge à la naissance était donc 27 ans.

Remarquons qu'on ne peut pas déterminer mon âge à l'aide des indications données. La seule chose que l'on sait est que $x-y=3$. Je peux aussi bien avoir 30 ans, 41 ans, 52 ans,...

Posons $x$ mon âge, et $y$ le votre. L'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez est donné par $y-(x-y)$ (c'est-à-dire $y$ moins la différence d'âge). On obtient donc comme première équation $x=2(y-(x-y))$ c'est-à-dire $3x-4y=0$.

Quand vous aurez l'âge que j'ai, votre âge sera $x$ et le mien $x+(x-y)$. La deuxième équation est donc $3x-y=63$. Il suffit ensuite de résoudre le système, et on obtient: $x=28$ et $y=21$.

Notons $a$, $b$ et $c$ les coefficients de chaque DS. Les moyennes respectives sont proportionnelles à

On cherche $a$, $b$ et $c$ de sorte que $$\left\{ \begin{array}{rcl} 11a+6b+11c& > &4a+14b+13c\\ 11a+6b+11c& > &19a+13b+8c \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} 7a-8b-2c& > &0\\ -8a-7b+3c & > & 0. \end{array}\right. $$ Isolons $c$ dans chaque inéquation. On trouve que $$\frac 72 a -4b >c>\frac 83 a +\frac 73 b.$$ En particulier on doit avoir $$\frac56 a -\frac {19}3 b >0$$ ou encore en multipliant tout par $6$ $$5a-38b>0.$$ Puisque tous les coefficients sont des entiers strictement positifs, on doit au moins avoir $b=1$ et dans ce cas la plus petite valeur de $a$ qui convient est $8.$ Mais alors, $c$ doit vérifier la double inégalité $$c<28-4=24\textrm{ et }c>\frac{71}3\simeq 23,\!66.$$ Il est impossible de trouver un entier naturel satisfaisant ces deux inégalités. Voyons en prenant $a=9.$ On voit alors que l'on doit avoir $$c<\frac{63}2-4=27,\!5\textrm{ et }c>24+\frac 73\simeq 26,\!3.$$ Le choix $c=27$ convient. On peut alors vérifier qu'avec les coefficients $a=9,$ $b=1$ et $c=27,$ Aïcha a bien une meilleure moyenne que ses camarades.

Notons $n$ le nombre de pommes initialement dans chaque panier, et $a,b,c$ le nombre de pommes dans chaque panier, rangés par ordre croissant. Bien sûr, on sait que $a+b+c=3n$, puis que $c=3a$, $c=2b$. Il semble qu'il manque une équation pour déterminer complètement $a$, $b$ et $c$ mais ces équations donnent néanmoins : $$\left(1+\frac 12+\frac 13\right)c=3n\implies 18n=11c.$$ Puisque $11$ et $18$ sont premiers entre eux, cela entraîne que $11$ divise $n$ et $18$ divise $c$. Mais de plus, on sait que les échanges pour chaque panier sont pas excédés 7 pommes. Ainsi, on en déduit que $c-a\leq 14$, ce qui entraîne $c\leq 21$. La seule solution possible est donc $c=18$ qui donne $n=11$. Et cela correspond effectivement à un déroulement possible de la séquence : il y a donc au départ 33 fruits répartis en 3 paniers de 11. L'un d'eux gagne successivement 1,2 et 4 fruits pour arriver à 18 Le second en perd 1 et 4 pour arriver à 6 Le dernier en perd 2 pour arriver à 9.

On va exprimer les temps en heures, les distances en km et les vitesses en km/h. Notons

Le problème comporte donc cinq inconnues. L'énoncé nous donne 4 équations : $$\left\{ \begin{array}{rcl} (12-t_0)v_1&=&x\\ 4v_1&=&y\\ (12-t_0)v_2&=&y\\ 9v_2&=&x. \end{array}\right.$$ Quatre équations pour cinq inconnues, c'est normalement trop peu pour les déterminer. Mais ici on peut ruser pour trouver $t_0$. En effet, si je fais le quotient des deux premières équations, puis le quotient des deux dernières équations, on obtient : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{12-t_0}4&=&\frac xy\\ \frac{12-t_0} 9&=&\frac yx. \end{array}\right.$$ En effectuant cette fois le produit des deux équations, on trouve $$\frac{(12-t_0)^2}{36}=1\iff (12-t_0)^2=36=6^2.$$ Ainsi, l'aube a eu lieu à 6h ce jour-là.

Notons

Le problème nous donne les informations suivantes : $$\left\{ \begin{align*} 70\times 24\times x&=24\times y+K\\ 60\times 30\times x&=60\times y+K. \end{align*}\right.$$ On souhaite trouver $n$ qui est donné par $$n=96\times n\times x=96\times y+K.$$ À première vue, cela a l'air impossible, car on a trois inconnues ($x$,$y$ et $K$) et seulement deux équations pour les déterminer. Mais en fait, ce qui nous intéresse vraiment, ce sont les valeurs de $y/x$ et $K/x$. En effet, $n$ est donné par $$n=\frac yx+\frac 1{96}\times \frac Kx.$$ Mais le système initial se réécrit en : $$\left\{ \begin{align*} 1680&=24 \frac {y}x+\frac Kx\\ 1800&=60\frac yx+\frac Kx. \end{align*} \right.$$ Il est alors facile d'obtenir $y/x=10/3$, $K/x=1600$ et $n=20$. Il faut donc $20$ vaches pour brouter le pré en $96$ jours !

On suppose que le carré $C$ est le carré de sommet les point $(0,0)$, $(10,0)$, $(0,10)$ et $(10,10)$) et que, par exemple, Portos est inxitialement en $(0,0)$, Aramis en $(10,0)$, Athos en $(0,10)$ et d'Artagnan en $(10,10)$. On note $(a,b)$ les coordonnées de Constance, et on suppose bien entendu que les chevaliers vont en ligne droite.

Puisque la vitesse du cheval de Portos est égale au $9/10$ du cheval d'Aramis, Portos a parcouru $9/10$ de la distance d'Aramis. On a donc $$\sqrt{a^2+b^2}=\frac 9{10}\sqrt{(10-a)^2+b^2}$$ soit $$a^2+b^2=\frac{81}{100}\times ((10-a)^2+b^2)$$ ou encore $$19a^2+1620a+19b^2-8100=0.$$ Puisque la vitesse du cheval d'Athos est égale au $9/10$ de celle de Portos, on a $$\sqrt{a^2+b^2}=\frac{10}{9}\sqrt{a^2+(10-b)^2}$$ soit $$a^2+b^2=\frac{100}{81}\times(a^2+(10-b)^2)$$ ou encore $$19a^2+19b^2-2000b+10000=0.$$ On va déterminer $a$ et $b$. En effectuant la différence des deux équations, on trouve $$2000b=18100-1620a$$ soit $$b=\frac{-81}{100}a+\frac{181}{20}.$$ On introduit ceci dans une des équations précédentes, et on trouve que $$19a^2+1620a+19\left(\frac{-81}{100}a+\frac{181}{20}\right)^2-8100=0$$ ce qui après développement donne $$19\left(1+\left(\frac{81}{100}\right)^2\right)a^2+\left(1620-\frac{2\times 19\times 81\times 181}{100\times 20}\right)a+19\times \left(\frac{181}{20}\right)^2-8100=0.$$ Une résolution numérique donne $a\simeq 4,\!42$ puis $b\simeq 5,\!47.$

D'Artagnan doit donc parcourir une distance égale à $$\sqrt{(10-4,\!42)^2+(10-5,\!47)^2}\simeq 7,19\ \textrm{km}$$ en $8$ minutes, soit à une vitesse d'environ $0,\!898\ \textrm{km/min},$ ce qui est très rapide pour un cheval, mais il s'agit quand même des trois mousquetaires !