La plupart des énigmes suivantes sont assez simples… si on parvient à déchiffrer
ce qui est dit dans le texte, et à le traduire en termes mathématiques!
Le nénuphar
Un nénuphar doublant sa surface chaque jour couvre un étang en quarante jours. Mais en combien de temps couvrira-t-il la moitié de l'étang?
Il lui suffira de 39 jours bien sûr, puisque le 40è jour, il doublera la surface occupée, et le double de la moité vaut un!
Chameaux et dromadaires
Mes 5 chameaux boivent 5 bonbonnes d'eau en 5 jours. Mes 7 dromadaires boivent 7 bonbonnes d'eau en 7 jours. Mais qui boit le plus?
Un chameau ou un dromadaire?
Un chameau boit un cinquième de bonbonne d'eau par jour, et un dromadaire boit un septième de bonbonne d'eau par jour.
Les chameaux boivent donc beaucoup plus que les dromadaires!
Le parc
Je suis un garçon. La dernière fois, au parc, lorsque je regardais autour de moi, je voyais autant
de filles que de garçons. Mais si une fille regardait autour d'elle, elle aurait vu deux fois plus de garçons que de filles.
Combien de personnes étaient au parc?
Il y avait 4 garçons et 3 filles. Si on note $x$ le nombre de garçons et $y$ le nombre de filles,
la première phrase nous dit en effet que $x-1=y$, alors que la deuxième nous dit que $2(y-1)=x$. On en déduit
que $2y-2=y+1$, soit $y=3$ et donc $x=4$.
Retour du collège!
D’habitude Anne quitte le collège à 17 heures et sa mère vient la chercher en voiture. Un beau jour Anne sort plus tôt. Elle décide de rentrer à pied et marche pendant un quart d’heure avant que sa mère ne la rejoigne et la ramène à la maison en voiture. Ils ont alors dix minutes d’avance sur l’horaire habituel. À quelle heure Anne est-elle sortie du collège ce jour-là ?
Énigme postée par Ernst sur le forum.
Si le trajet en voiture a duré dix minutes de moins que d’habitude, c’est qu’il a été raccourci de cinq minutes à l’aller et de cinq minutes au retour. S’il a été raccourci de cinq minutes à l’aller, la mère a donc rencontré Anne à 16 h 55 au lieu de 17 h. Or à 16 h 55 Anne avait déjà marché quinze minutes, on en déduit donc qu’elle est sortie à 16 h 40.
L'hypocondriaque
J'ai toujours mal quelque part! En moyenne, j'ai mal au dos un jour sur trois (mais uniquement au dos)! En moyenne, un jour sur quatre, j'ai mal aux dents (mais uniquement aux dents)! En moyenne, un jour sur cinq, j'ai la migraine (mais uniquement la migraine)! Et même, un jour sur six, je souffre de deux de ces maux (heureusement pas des trois)! Mais, le pire, c'est les jours maudits, où j'ai mal au dos, aux dents, et à la tête... Au fait, quelle est leur fréquence?
C'est un simple calcul de fractions! Soit f la fréquence où j'ai mal aux 3 endroits. On a : 1=f+1/3+1/4+1/5+1/6. D'où, en mettant tout au même dénominateur, on a f=3/60=1/20 : j'ai mal au dos, aux dents et à la tête un jour sur 20! Aie,aie,aie!
Les océans
L'océan Atlantique fait la moitié du Pacifique. L'Arctique fait le quart de l'Atlantique. L'Arctique et l'Antarctique font ensemble les deux cinquièmes de l'océan Indien, qui fait lui-même fait les neuf dixièmes de l'Atlantique. Mais alors, combien faut-il d'océans Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique?
L'indien fait les 9/20 du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique ensemble font 18/100=9/50 du Pacifique. Mais Arctique seul fait 1/4×1/2=1/8 du Pacifique. L'Antarctique fait donc 9/50-1/8=11/200 du Pacifique. Il faut donc 200/11, soit un peu plus de 18, océans de la taille de l'Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique.
Les vacances
Petit Pierre raconte ses vacances :
« Il y a eu 11 jours de pluie ; pendant ces 11 jours, quand il pleuvait
le matin, il faisait beau l'après-midi et s'il pleuvait l'après-midi, il
avait fait beau le matin. »
Au total, ce petit garçon a eu 9 matinées et 12 après-midi sans pluie.
Peux-tu trouver combien de jours de vacances a eu ce petit garçon ?
Il y a autant de matinées et d'après-midi que de jours de vacances.
Il y a 9+12 = 21 demi-journées sans pluie.
Il y a 11 demi-journées avec pluie ; donc 21+11 = 32 demi-journées au total, soit 16 jours de vacances.
L'horloge électronique
Mon horloge numérique affiche en permanence 4 chiffres : deux pour les heures, et deux pour les minutes.
Durant combien de temps (en minutes) apparaissent chacun des dix chiffres de 0 à 9 durant une journée normale de 24 heures ?
Enigme postée sur le forum par Freddy
Pour le 0 : il apparait en première position pendant 10 heures, soit 600 minutes, et en deuxième position pendant 3 heures, soit 180 minutes, en troisième position pendant 10×24 minutes (10 minutes pendant chaque heure), en quatrième position pendant 6×24 minutes, soit au total 1164 minutes.
Pour le 1, le calcul est identique : 1164 minutes.
Pour le 2 : il ne peut plus apparaitre en première position que pendant 4 heures, le reste du calcul est inchangé, soit un total de 804 minutes.
Pour le 3 : il n'apparait plus jamais en première position, le reste du calcul est inchangé. On obtient 564 minutes.
Pour le 4 et le 5 : il n'apparaissent plus jamais en première position, et en deuxième position seulement pendant deux heures. Le
reste du calcul est inchangé. On obtient 504 minutes.
Pour le 6, le 7, le 8 et le 9, on ne peut plus apparaitre comme troisième chiffre. Le total est donc 120+144=264 minutes.
Le mariage
Jeanne sort de la mairie après une cérémonie de mariage et voit des enfants entourés de chats. Elle s’amuse à compter les têtes, les jambes et les pattes de ce drôle d’ensemble. Elle trouve 22 têtes et un total de 68 jambes et pattes. À votre avis, combien y a-t-il d’enfants et de chats ?
Notons
$x$ le nombre d'enfants.
$y$ le nombre de chats.
Le nombre de têtes vaut donc $x+y$. Le nombre de jambes et de pattes vaut $2x+4y$. $x$ et $y$ sont donc solutions
du système suivant :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y&=&22\\
2x+4y&=&68
\end{array}\right.$$
Il reste à résoudre ce système, et on obtient $x=10$ et $y=12$.
L'âge de Diophante
Une épigramme grecque, publiée vers 369 dans
L'Abrégé de l'Histoire Romaine d'Eutrope, propose
de calculer l'âge de Diophante.
Voici la traduction en alexandrins qu'en donne Emile Fourrey dans ses
Récréations mathématiques.
Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des septs parts de sa vie, une encore s'écoula,
Puis s'étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.
Saurez-vous calculer l'âge
de Diophante????
Notons $x$
l'âge de Diophante. Les diverses informations données par le poème
conduisent à l'équation suivante : $$x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x.$$
On obtient facilement la solution : $x=84$.
Erwan
Quand tu es né Erwan, j'avais vingt-quatre ans. Mais aujourd'hui, j'ai deux fois l'âge que tu avais, quand j'avais l'âge que tu as, c'est-à-dire...
Notons $x$ mon âge (actuel). L'âge d'Erwan est donc $x-24$.
L'âge qu'Erwan avait quand j'avais l'âge d'Erwan actuel est donc $(x-24)-24=x-48$.
Mon âge actuel est deux fois cet âge là, et donc $x=2(x-48)$, c'est-à-dire $x=96$.
J'ai donc 96 ans, et Erwan 72. Nous somme de vieux papys maintenant!
L'élection présidentielle
A l'élection présidentielle, chaque candidat
a la moitié des voix du candidat qui le précède.
Y aura-t-il un deuxième
tour???
Non! En effet, si x est le pourcentage de voix du premier
candidat, et s'il y a n candidats, alors on a :x+x/2+x/4+...+x/2n-1=100.
Soit en factorisant par x : x*(1+1/2+1/4+...+1/2n-1)=100.
Or, d'après le calcul de la somme des n premiers termes d'unesuite
géométrique, on sait que : 1+1/2+...+1/2n-1 <2. On
obtient donc que x>50. Le premier candidat est élu sans second
tour.
L'âge de Timothée
Quand Timothée aura l'âge qu'a maintenant
son père, alors sa soeur sera deux fois plus vieille. D'autre
part, l'âge du père sera le double de l'âge de Timothée
quand sa soeur aura l'âge actuel de son père. En outre,
la somme de leurs âges est d'un siècle. Mais
quel est l'âge de chacun????????
On va se ramener à un système d'équation à 3 inconnues.
On notera $x,y,z$ les âges respectifs de Timothée,
de sa soeur, et de son père. La première équation,
est facile à obtenir : puisque la somme des âges est égale à une siècle, on a
$$x+y+z=100.$$
Analysons les autres phrases :
Quand Timothée aura l'âge qu'a maintenant son père
(l'âge de Timothée sera donc $z=x+(z-x)$, donc l'âge
de la soeur sera $y+(z-x)$, celui du père sera $z+(z-x)$ ) alors
sa soeur sera deux fois plus vieille - on a donc $y+(z-x)=2y$, c'est-à-dire
qu'on obtient la deuxième équation
$$x+y-z=0.$$
Remarquons que les deux équations nous donnent immédiatement que $z=50$.
Quand sa soeur aura l'âge actuel de son père (donc
l'âge de la soeur sera $y+(z-y)$, celui de Timothée sera
$x+z-y$, celui du père sera $2z-y$), l'âge du père
sera le double de celui de Timothée, et donc : $2z-y=2\times(x+z-y)$,
ce qui donne finalement la troisième équation :
$$2x=y.$$
On résoud le système, en ayant déjà
remarqué que $z=50$. Il vient $y=50-x$ et $y=2x$, soit $100=3x$, soit $x=50/3$, et
donc $y=100/3$.
Ma fille
Si j'échange les chiffres de mon âge, j'obtiens
l'âge de ma fille. Quand cette dernière est née,
j'avais entre 20 et 30 ans. Mais combien
exactement???
On note $x$ le chiffre des dizaines de mon âge (actuel),
et $y$ le chiffre des unités. $xy$ est donc mon âge,
et $yx$ est celui de ma fille. Notre différence d'âge est $xy-yx$, c'est donc
l'âge que j'avais à sa naissance.
Or, $xy-yx=10x+y-10y-x=9(x-y)$. C'est donc un multiple de 9, qui est compris
entre 20 et 30. Mon âge à la naissance était donc 27 ans.
Remarquons qu'on ne peut pas déterminer mon âge à l'aide des indications données.
La seule chose que l'on sait est que $x-y=3$. Je peux aussi bien avoir 30 ans, 41 ans, 52 ans,...
L'âge que j'avais quand vous aviez l'âge que j'ai...
J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge
que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble, nous
aurons 63 ans. Mais quels sont
nos âges???
Posons $x$ mon âge, et $y$ le votre.
L'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez est donné par $y-(x-y)$
(c'est-à-dire $y$ moins la différence d'âge). On obtient donc comme première équation
$x=2(y-(x-y))$ c'est-à-dire $3x-4y=0$. Quand vous aurez l'âge que j'ai, votre âge sera
$x$ et le mien $x+(x-y)$. La deuxième équation est donc $3x-y=63$. Il suffit ensuite
de résoudre le système, et on obtient: $x=28$ et $y=21$.
Les vieilles dames
Deux vieilles dames partirent à l'aube et marchaient chacune à vitesse constante. L'une allait de A à B, et l'autre de B à A.
Elle se rencontrèrent à midi, et continuant sans s'arrêter, la première arriva en B à 16h, et la seconde en A à 21h. A quelle heure était l'aube ce jour-là?
On va exprimer les temps en heures, les distances en km et les vitesses en km/h. Notons
$v_1$ la vitesse de la première dame;
$v_2$ la vitesse de la deuxième dame;
$x$ la distance de A au point de rencontre;
$y$ la distance de B au point de rencontre;
$t_0$ l'heure de l'aube.
Le problème comporte donc cinq inconnues. L'énoncé nous donne 4 équations :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
(12-t_0)v_1&=&x\\
4v_1&=&y\\
(12-t_0)v_2&=&y\\
9v_2&=&x.
\end{array}\right.$$
4 équations pour 5 inconnues, c'est normalement trop peu pour les déterminer. Mais ici
on peut ruser pour trouver $t_0$. En effet, si je fais le quotient des deux premières équations, puis le quotient des
deux dernières équations, on obtient :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{12-t_0}4&=&\frac xy\\
\frac{12-t_0} 9&=&\frac yx.
\end{array}\right.$$
En effectuant cette fois le produit des deux équations, on trouve
$$\frac{(12-t_0)^2}{36}=1\iff (12-t_0)^2=36=6^2.$$
Ainsi, l'aube a eu lieu à 6h ce jour-là.
Les vaches et l'herbe du pré
L'herbe d'un pré pousse partout avec même vitesse et la même densité.
On sait que 70 vaches la mangent en 24 jours alors que 30 vaches la mangent en 60 jours.
Combien faudrait-il mettre de vaches dans le pré pour qu'elles mangent l'herbe en 96 jours?
Notons
$x$ la quantité mangée par vache et par jour.
$y$ la quantité d'herbe produite par jour.
$K$ la quantité initiale d'herbe dans le pré
$n$ le nombre de vache nécessaires pour manger l'herbe du pré en 96 jours.
Le problème nous donne les informations suivantes :
On souhaite trouver $n$ qui est donné par :
A première vue, cela a l'air impossible, car on a trois inconnues ($x$,$y$ et $K$)
et seulement deux équations pour les déterminer. Mais en fait, ce qui nous intéresse vraiment,
ce sont les valeurs de $y/x$ et $K/x$. En effet, $n$ est donné par
Mais le système initial se réécrit en :
Il est alors facile d'obtenir $y/x=10/3$, $K/x=1600$ et $n=20$.
Il faut donc 20 vaches pour brouter le pré en 96 jours!
