Dans les énigmes suivantes, vous serez confronté à des gens sincères et des gens menteurs.
Saurez-vous démêler le vrai du faux?
La tarte au citron de Mamie
C'est le drame dans la cuisine! Une part de la succulente tarte aux amandes et au citron prévue pour fêter l'anniversaire de Mamie a disparu. C'est sûr, c'est un de ses cinq petits enfants qui l'a mangé! On les convoque, et voici ce qu'ils disent :
Arthur : "Ce n'est pas Emile, c'est Basile".
Basile : "Ce n'est pas Charles, ce n'est pas Emile".
Charles : "C'est Emile, ce n'est pas Arthur".
Damien : "C'est Charles, c'est Basile".
Emile : "C'est Damien, ce n'est pas Arthur".
Vous êtes sûr qu'un seul des enfants est coupable. Vous les connaissez bien. Pour ne pas se dénoncer, ils ont chacun donné une information juste, et une information fausse. Saurez-vous tout de même découvrir qui a mangé la part?
Cherchons qui est le coupable. Si c'est Arthur, il y a une contradiction avec ce que dit Charles (il mentirait en disant ce n'est pas Arthur, donc dirait la vérité en disant c'est Emile et il y aurait deux coupables). Si c'est Basile, il y a une contradiction avec ce que dit Basile.
Si c'est Damien, il y a une contraction avec ce que dit Emile.Si c'est Emile, il y a une contradiction avec ce que dit Arthur.
Si c'est Charles, il n'y a pas de contradiction : Arthur ment pour Basile, Basile ment pour Charles, Charles ment pour Emile, Damien ment pour Basile et Emile ment pour Damien.
On aurait aussi pu déduire que Charles avait mangé la part juste en analysant ce que disent Basile et Damien : d'après Basile, le coupable est à chercher parmi Charles et Emile. D'après Damien, le coupable est à chercher parmi Charles et Basile. Donc ce ne peut être que Charles.
Soirée de mariage
Dans une soirée de mariage, vous croisez Manon et Cléa. Vous savez que l'une des deux est mariée, et l'autre non. Comme vous voulez savoir laquelle, vous leur posez la question. Manon vous répond : "Je suis mariée" quand Cléa répond : "Je ne le suis pas". Ce serait plus simple si vous ne saviez pas que l'une au moins des deux ment. Pouvez-vous décider de leur statut matrimonial?
Il suffit d'envisager tous les cas possibles :
Si Manon ment et Cléa dit la vérité, alors aucune des deux n'est mariée : impossible!
Si Manon dit la vérité et Cléa ment, alors les deux sont mariés : impossible!
Si les deux mentent, alors Manon est célibataire et Cléa est mariée. C'est la seule solution compatible.
Le rotary-club
Les membres d'un Club pour le moins étrange, sont :
- soit sincères et répondent par la vérité aux questions qu'on leur pose
- soit des menteurs qui répondent toujours par un mensonge.
Lors de sa première visite au club, un passionné de logique trouve tous les membres assis et déjeunant autour d'une table ronde... Comme il lui était impossible de déterminer d'un simple coup d'eil, les menteurs et les sincères, cet amateur de logique demanda à chacun de préciser à quelle catégorie il appartenait...
Il ne fut pas plus avancé en écoutant les réponses : tous bien sûr assurèrent être sincères...
Il fit alors une nouvelle tentative en demandant à chacun d'entre eux si son voisin de gauche était sincère ou mentait.
Là encore, les réponses ne lui permirent pas de savoir qui était sincère et qui était menteur, tous ayant unanimement répondu que leur voisin de gauche était un menteur...
Quelle question peut-il poser maintenant à un membre pour savoir si il est menteur ou sincère ?
La question à poser à n'importe quel membre est : "Votre voisin de gauche dirait-il de vous que vous êtes sincère ?". Comme tous les membres ont répondu que leur voisin de gauche était menteur, on peut en déduire qu'autour de la table il y a alternance des menteurs et des sincères. En effet, le menteur répondait que son voisin sincère était menteur et le voisin sincère répondait que son voisin menteur était menteur. Partant de là, le membre questionné répondra si il est sincère que son voisin menteur dira qu'il est menteur et répondra si il est menteur que son voisin sincère dira qu'il est sincère. On pourra alors dicerner par la réponse si le membre est sincère ou si le membre est menteur.
L'horloger menteur
Un touriste se trouva fort dépourvu
Quand sa montre l'heure donner ne put plus.
Il se mit alors en quête d'un horloger,
dans cette ville bien particulière
Où une seule personne ment : justement l'horloger !
Il aborde alors un groupe de 3 personnes et demande à l'une d'entre elles (A) où est cet horloger :
cette personne marmonnant sa réponse, elle est incompréhensible.
Il interroge donc l'une des deux autres personnes (B) qui lui répond "Il dit que c'est lui l'horloger".
C'est alors que le dernier des 3 (C) s'adresse à celui qui vient de parler : "Tu es un menteur".
Mais qui est donc l'horloger?
Enigme postée par Yoshi sur le forum
Si A est l'horloger, il a menti. Il a donc dit: "je ne suis pas l'horloger"
B a dit "il dit qu'il est l'horloger". Il ment aussi. On aboutit donc à une impasse : il ne peut pas y avoir deux menteurs.
Donc A n'est pas l'horloger.
Si A n'est pas l'horloger, il dit la vérité. Il a donc dit: "je ne suis pas l'horloger"
B dit: "il dit que c'est lui l'horloger". Donc il ment et c 'est lui l'horloger.
C dit :"tu es un menteur", ce qui est la vérité.
Cette deuxième hypothèse remplit toutes les conditions de l'énoncé : B est l'horloger menteur
Solution par Nerosson…
La sorcière Fabula
Vous avez croisé la sorcière Fabula, qui se targue de lire l'avenir. Mais attention vous prévient-elle : elle dit la vérité un seul jour de la semaine, toujours le même. Comment savoir de quel jour il s'agit? "Ecoute-moi bien les 3 prochains jours", dit-elle, "et tu en sauras plus".
Vous êtes très attentifs, et voici ce qu'elle dit :
Le lundi et le mardi, je mens toujours
Aujourd'hui, nous sommes jeudi, samedi ou dimanche
Le mercredi et le vendredi, je mens toujours.
Alors, quel jour Fabula dit-elle la vérité?
D'après Dossiers Science Hors-série- Les meilleures énigmes
Une seule des trois phrases, au plus, est vraie puisque Fabula ne dit la vérité qu'un jour par semaine.
Si la première et la dernière phrases sont fausses, elle dirait la vérité au moins deux jours dans la semaine.
Donc l'une des deux phrases est fausse, l'autre est vraie.
Si c'est la troisième phrase qui est fausse, alors Fabula dit la vérité le mercredi ou le vendredi. Donc le jour 1 est un mercredi ou un vendredi,
donc le jour 2 est un jeudi ou un samedi, ce qui n'est pas possible puisque Fabula ment ce jour-là, alors que la phrase 2 devrait être vraie. Cette possibilité est donc à écarter.
Si c'est la première phrase qui est fausse, alors Fabula dit la vérité le lundi ou le mardi, et ment les autres jours.
Donc le jour 3 est un lundi ou un mardi, le jour 2 est un dimanche ou un lundi. Comme Fabula ment ce jour-là, ce ne peut pas être un dimanche.
Cette solution est compatible si le jour 3 est un mardi et que Fabula dit la vérité le mardi.
Vous savez donc que Fabula dit la vérité le mardi.
Le sphinx
Revoici notre célèbre Sphinx qui a quelque peu évolué.
Mentir un jour sur deux ne le satisfaisant plus, il a décidé de mentir 6 jours sur 7.
Pour pouvoir passer vous devez lui donner le nom du jour où il ne ment pas.
Pour ce faire, vous avez le droit (et le devoir), de passer 3 jours de suite où il vous délivre à chaque fois une indication permettant de déterminer quel est le jour où il dit la vérité.
Durant ces 3 jours, le sphinx dit successivement :
Jour 1 : "Je mens le lundi et le mardi."
Jour 2 : "Aujourd'hui, nous sommes soit jeudi, soit samedi, soit dimanche."
Jour 3 : "Je mens le mercredi et le vendredi."
Quel est donc ce jour où le Sphinx dit la vérité ?
L'étude de tous les cas est un peu fastidieuse, mais voyons comment procéder.
Supposons que le premier jour soit un lundi. Alors, si le sphinx ment le lundi, sa première phrase est fausse,
et il ne ment donc pas le mardi. Mais ceci contredit la phrase dite le jour 2 (le mardi), qui est la vérité.
S'il dit la vérité le lundi, on obtient une contradiction avec la première phrase. Il est donc impossible
que le jour 1 soit un lundi.
Supposons que le premier jour soit un mardi. Comme ci-dessus, le sphinx ne peut pas dire la vérité le mardi, donc il ment
et il dit la vérité le lundi. Oui, mais le jour 3 est un jeudi, il ment et il dit donc la vérité le mercredi ou le vendredi.
Comme il dit la vérité un seul jour, on a là aussi une contradiction.
On peut répéter ainsi le raisonnement jusque…
On fait l'hypothèse que le jour 1 est un dimanche. S'il dit la vérité, on a contradiction avec la phrase du jour 3, qui est un mensonge.
Il ment donc, et il dit la vérité le lundi ou le mardi. S'il dit la vérité le lundi, on a contradiction avec la phrase 2.
Il ne peut donc dire la vérité que le mardi, et on n'a pas de contradictions avec le reste (la phrase 2 est bien un mensonge,
la phrase 3 est bien la vérité).
En conclusion, on a rencontré le sphinx le dimanche, le lundi et le mardi, et il dit la vérité uniquement le mardi.
Mytholand
A Mytholand, ville très sympathique de Groland, il y a deux catégories d'humains :
- l'une, pour un tiers de la population, qui ment systématiquement ;
- l'autre qui dit la vérité 3 fois sur 4.
A chaque fois, frappés d'anosognosie, les réponses sont données de façon tout à fait indépendante les unes des autres, et des uns par rapport aux autres.
Un car de touristes de Narkolazzie, charmant pays frontalier, se pose sur la place de l'Hotel de Ville pour visiter le Musée du Mensonge.
Les touristes ont un petit problème : ils ne savent pas s'il faut se diriger en direction du Nord de l'Hôtel de Ville, ou bien du Sud.
Ils avisent un quidam. A tour de rôle, quatre touristes lui posent la même question et obtiennent la même réponse : Nord.
Un cinquième touriste se propose de lui poser à nouveau la même question.
Quelle est la réponse qui donnera au groupe la meilleure orientation possible ?
Enigme postée par Freddy sur le forum
C'est la réponse Sud, qui donne alors l'indication qu'il faut plutôt aller vers le nord! En effet,
Si le quidam répond une nouvelle fois Nord, on ne peut pas savoir s'il ment systématiquement ou s'il dit la vérité de temps à autre…
S'il répond sud, on sait, comme il ne dit pas toujours la vérité, que l'on ait dans le deuxième cas, c'est-à-dire que la vérité ait dite trois fois sur quatre.
Comme il y a une prédominance de nord, on va aller vers le nord.
Cette réponse est simplement heuristique, mais il est possible de lui donner un sens précis mathématique en utilisant des probabilités.
Pour cela, considérons les événements suivants :
$N$ est l'événement "La direction est Nord";
$S$ est l'événement "La direction est Sud"; $S$ n'est rien d'autre que l'événement $\bar N$;
$A$ est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Sud";
$B$ est l'événement "le quidam répond Nord, Nord, Nord, Nord, Nord";
$M$ est l'événement "Le quidam est un menteur systématique".
Notons aussi $P(E|F)$, ou parfois $P_F(E)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $F$ est réalisé. Ce que l'on souhaite démontrer, c'est que
$$|P(N|A)-P(S|A)|\geq |P(N|B)-P(S|B)|.$$
On sépare les deux cas :
L'événement $A$ est réalisé. On cherche à calculer la probabilité
conditionnelle de $N$ sachant $A$, c'est-à-dire $P(N|A)$. Ce que l'on connait très bien, c'est $P(A|N)$. En
effet, on sait dans ce cas que le quidam n'est pas un menteur systématique. La probabilité
qu'il ait donné les réponses successives correspondant à $A$ vaut donc
$$P(A|N)=\left(\frac 34\right)^4\times\frac 14.$$
On retrouve $P(N|A)$ en utilisant la formule de Bayes :
$$P(N|A)=\frac{P(A|N)P(N)}{P(A|N)P(N)+P(A|\bar N)P(\bar N)}.$$
On sait calculer toutes les probabilités qui sont invoquées, car $P(N)=1/2$ et
$$P(A|\bar N)=\left(\frac 14\right)^4\times\frac 34.$$
Finalement, on trouve, arrondi à deux décimales :
$$P(N|A)\simeq 0,96\implies |P(N|A)-P(S|A)|\simeq 0,92.$$
L'événement $B$ est réalisé. On souhaite calculer $P(N|B)$. C'est délicat de le faire
directement, et on va calculer d'abord
$$\begin{array}{rcl}
P(B|N)&=&P_N(B)=P_N(B\cap M)+P_N(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap N).
\end{array}$$
L'événement $B\cap M\cap N$ est impossible, il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap N)=P_{\bar M}(B\cap N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|N)}{P_{\bar M}(N)}P(\bar M).$$
Or, $P(\bar M)=2/3$, $P_{\bar M}(N)=1/2$ (car $N$ est indépendant de $M$), et
$$P_{\bar M}(B|N)=\left(\frac 34\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|N)=\frac 23\left(\frac 34\right)^5.$$
On fait le même calcul avec $\bar N$ au lieu de $N$, et on obtient
$$\begin{array}{rcl}
P(B|\bar N)&=&P_{\bar N}(B)=P_{\bar N}(B\cap M)+P_{\bar N}(B\cap \bar M)\\
&=&\frac 12 P(B\cap M\cap \bar N)+\frac 12 P(B\cap \bar M\cap \bar N).
\end{array}$$
L'événement $B\cap M\cap \bar N$ est inclus dans $M\cap\bar N$, qui est lui-même de probabilité
$\frac 13\times\frac12=\frac 16$ (car les événements $M$ et $\bar N$ sont indépendants). Il reste à calculer
$$P(B\cap \bar M\cap \bar N)=P_{\bar M}(B\cap \bar N)P(\bar M)=\frac{P_{\bar M}(B|\bar N)}{P_{\bar M}(\bar N)}P(\bar M).$$
Or, $P(\bar M)=2/3$, $P_{\bar M}(\bar N)=1/2$, et
$$P_{\bar M}(B|\bar N)=\left(\frac 14\right)^5.$$
On trouve donc
$$P(B|\bar N)=\frac 23\left(\frac 14\right)^5+\frac 1{12}.$$
On en déduit $P(N|B)$ par la formule de Bayes :
$$P(N|B)=\frac{P(B|N)P(N)}{P(B|N)P(N)+P(B|\bar N)P(\bar N)}.$$
Une valeur approchée à deux décimales est :
$$P(N|B)\simeq 0,65\implies |P(N|B)-P(S|B)|\simeq 0,31.$$
Les 3 géants
Devant vous, il y a trois géants. L'un d'eux dit toujours la vérité, un autre ment toujours, et le dernier répond complètement aléatoirement aux questions qu'on lui pose.
Les trois géants ne connaissent que deux mots : "da", et "ja". L'un de ces deux mots veut dire oui, et l'autre non, mais vous ne savez pas leur signification.
Le but est de trouver, avec trois questions seulement, l'identité de chacun des géants (une question veut dire : une question à un géant : on peut poser trois fois une question au même géant, ou bien une fois une question à chaque géant, etc.).
On numérote les géants de 1 à 3.
I/ On pose à 1 la question suivante:
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si 3 répond aléatoirement ?"
Si la réponse est da, on pose X=2 et Y=3, sinon on pose X=3 et Y=2.
À ce point là, soit 1 est aléatoire, soit c'est Y qui l'est, on vient donc de déterminer que X ne l'était pas.
II/ On pose donc la question suivante à X :
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si Y répond aléatoirement ?"
Si la réponse est da, on sait alors que Y répond aléatoirement, on pose alors A=X, B=1, et C=Y
Sinon, on sait que c'est 1 qui répond aléatoirement, on pose donc A=X, B=Y et C=1
À ce point là A et B répondent en disant soit tout le temps la vérité, soit en mentant tout le temps.
Et C répond toujours aléatoirement.
III/ Enfin, on pose la question suivante à A(=X) :
- "Est-ce que da est la réponse à la question : que répondrais-tu si on te demandais si tu dis la vérité ?"
Si A répond da, alors A dit la vérité, B ment et C répond aléatoirement
Sinon, A ment, B dit la vérité et C répond aléatoirement.
