Les énigmes suivantes pourront vous sembler au premier abord très étranges, presque impossibles.
Et pourtant, toutes ont une explication.
Le Cadi
Sur son lit de mort, le cheikh convoque ses deux fils. Il leur révèle un grand secret qu'il a gardé toute sa vie: "Là-bas,
derrière la grande dune, j'ai caché un trésor. Après ma mort, rendez-vous sur les lieux. Alors il appartiendra à celui de vous deux dont le chameau
sera arrivé en second".
Quelques jours plus tard, le cheikh meurt et les deux fils sont bien embêtés. Il voudrait tous les deux avoir le trésor, mais comment faire. Si l'un campe à proximité pour éviter que son chameau n'arrive en premier, son frère fera de même et ils vont finir par mourir de soif.
Les deux frères s'en remettent alors au cadi, qui leur murmure quelque chose à l'oreille. Aussitôt, on voit les deux fils et leurs deux chameaux s'élancer à toute allure vers la grande dune. Mais que leur a dit le cadi?
Il leur a simplement dit d'y aller en enfourchant le chameau de son frère! Ainsi, celui qui arrivera en premier empochera le trésor!
Tous dans le même panier
Les temps sont durs, vous le savez. Alors, pour conforter sa maigre retraite,
Nérosson s'en est allé au marché vendre les fruits de son verger. Il disposa, dans 3 paniers,
exactement le même nombre de pommes. Nous étions allés avec lui, Barbichu, Freddy, Roro et moi.
Pendant que Nérosson avait le dos tourné, Barbichu, un peu taquin, prit une pomme d'un panier
qu'il mit dans un des deux autres paniers. Freddy, qui ne voulait pas être en reste, passa derrière lui
et prit deux pommes d'un panier pour les mettre dans un autre panier. Roro, le plus taquin de tous,
prit lui quatre pommes d'un panier pour les mettre dans un autre. Moi qui observais la scène de loin,
je savais maintenant que dans un panier, il y avait exactement le double du nombre de pommes que dans le panier voisin,
et le triple du nombre de pommes que dans le dernier panier.
Mais au fait, quel était le nombre de pommes initialement dans chaque panier?
Notons $n$ le nombre de pommes initialement dans chaque panier, et $a,b,c$ le nombre de pommes dans chaque panier,
rangés par ordre croissant. Bien sûr, on sait que $a+b+c=3n$, puis que $c=3a$, $c=2b$. Il semble qu'il manque une équation
pour déterminer complètement $a$, $b$ et $c$ mais ces équations donnent néanmoins :
$$\left(1+\frac 12+\frac 13\right)c=3n\implies 18n=11c.$$
Puisque $11$ et $18$ sont premiers entre eux, cela entraîne que $11$ divise $n$ et $18$ divise $c$. Mais de plus, on sait que les échanges
pour chaque panier sont pas excédés 7 pommes. Ainsi, on en déduit que $c-a\leq 14$, ce qui entraîne $c\leq 21$. La seule solution possible
est donc $c=18$ qui donne $n=11$. Et cela correspond effectivement à un déroulement possible de la séquence :
il y a donc au départ 33 fruits répartis en 3 paniers de 11.
L'un d'eux gagne successivement 1,2 et 4 fruits pour arriver à 18
Le second en perd 1 et 4 pour arriver à 6
Le dernier en perd 2 pour arriver à 9.
Somme des diviseurs et nombres premiers
Yoshi, Freddy, Nerosson et Totomm sont au bar de Fred.
Freddy et Totomm veulent absolument savoir qui des deux est le meilleur matheux.
Yoshi leur soumet alors une énigme : il choisit un nombre entier entre 1 et 20.
Il indique ensuite à Freddy la somme des diviseurs de N, et à Totomm le plus grand diviseur premier de N.
A charge pour eux de trouver N.
Freddy répond : je ne peux pas malheureusement pas répondre….
Totomm poursuit : moi non plus.
Nerosson, qui les regarde d'un air amusé, et qui sait que Freddy et Totomm sont deux mathématiciens de
grand talent tous les deux, répond alors : mais moi, je sais quel est le nombre de diviseurs de N.
Et vous, sauriez-vous faire aussi bien que Nerosson?
On commence par faire un tableau avec pour chaque nombre la somme de ces diviseurs et son plus petit facteur premier :
N
Diviseurs
Nombre de diviseurs
Somme des diviseurs
Plus grand diviseur premier
1
1
1
1
2
1-2
2
3
2
3
1-3
2
4
3
4
1-2-4
3
7
2
5
1-5
2
6
5
6
1-2-3-6
4
12
3
7
1-7
2
8
7
8
1-2-4-8
4
15
2
9
1-3-9
3
13
3
10
1-2-5-10
4
18
5
11
1-11
2
12
11
12
1-2-3-4-6-12
6
28
3
13
1-13
2
14
13
14
1-2-7-14
4
24
7
15
1-3-5-15
4
24
5
16
1-2-4-8-16
5
31
2
17
1-17
2
18
17
18
1-2-3-6-9-18
6
39
3
19
1-19
2
20
19
20
1-2-4-5-10-20
6
42
5
Si Freddy ne peut pas conclure, c'est que la somme des diviseurs qu'on lui tend
est celle d'au moins deux nombres entre 1 et 20. D'après le tableau précédent,
cette somme peut être 12 (pour N=6 ou N=11), 18 (pour N=10 ou N=17) ou 24 (pour N=14 ou N=15).
Totomm ayant fait ce raisonnement, il sait que N=6,10, 11, 14, 15 ou 17. Or, le tableau précédent montre
que, parmi ces nombres, seuls 10 et 15 ont le même plus grand diviseur premier.
Nerosson, ayant fait ce raisonnement, sait que N=10 ou N=15. Ces deux nombres ont exactement 4 diviseurs.
Le far-west
Nous sommes dans le Far-West.
Cent condamnés à mort attendent leur exécution pour le lendemain.
Leur bourreau vient leur rendre visite et leur explique le détail de l'exécution.
Il seront tous placés, les uns derrière les autres, avec des chapeaux blancs ou des chapeaux noirs.
Le bourreau commencera par interroger le dernier de la file, lui demandant la couleur de son chapeau. S'il répond juste,
il est sauvé. S'il se trompe, il est mort. Le procédé est ensuite répété
pour chaque prisonnier.
Les condamnés ont une nuit pour trouver une méthode
pour sauver le plus grand nombre d'entre eux (ce n'est pas eux qui choisiront le chapeau sur leur tête).
Combien pouvez-vous en sauver, sachant que chaque prisonnier
voit bien sûr la couleur des chapeaux qui sont devant lui et
entend la réponse des prisonniers qui sont derrière lui?
Le dernier condamné, voiyant le chapeau de tous les autres sauf le sien, compte par exemple le nombre de chapeaux blancs.
- S'il en voit un nombre pair, il dit "blanc".
- S'il en voit un nombre impair, il dit "noir"!
Il a une chance sur deux de mourir ainsi.
L'avant dernier condamné voit lui tous les chapeaux qui le précèdent. Supposons qu'il voit un nombre pair de chapeaux blancs :
- si le dernier condamné a dit "blanc", c'est qu'il voyait lui aussi un nombre pair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné dit
donc "noir".
- si le dernier condamné a dit "noir", c'est qu'il voyait lui un nombre impair de chapeaux blancs. Le chapeau de l'avant-dernier condamné est donc blanc, ce qu'il dit.
Bien sûr, la situation est symétrique s'il voit un nombre impair de chapeaux blancs. L'avant-dernier condamné est sauvé!
On peut remonter ainsi toute la file, car on dispose toujours de l'information : "parité du nombre de chapeaux blancs que voyait le
condamné disposé derrière dans la file". Tous les condamnés vont donc être sauvés, sauf éventuellement le dernier...
La vieille dame et l'horloge
Une vieille dame n'avait jamais réussi à se mettre aux horloges à quartz, et tutti quanti. Elle n'avait pour lui donner l'heure qu'une seule vieille horloge, qu'elle remontait soigneusement chaque semaine. Mais une dure grippe la cloua au lit, et le dimanche venu, la vieille dame ne put remonter son horloge. Une fois rétablie, elle était fort marrie. Sans horloge, comment savoir s'il était l'heure des Feux de l'Amour?
Heureusement, tous les mardi après-midi, cette vieille dame allait chez son ami Madeleine, qui habitait à quelques kilomètres de là. La vieille dame pouvait y aller à pied. Et en rentrant chez elle, elle put régler son horloge à l'heure précise. Mais au fait, comment a-t-elle fait?
Visiblement, cette vieille dame avait encore toute sa tête. Avant de partir de chez elle, elle a pris soin de remonter l'horloge, et de la mettre à midi. Elle s'en va chez Madeleine, et note immédiatement l'heure en arrivant. Puis quand elle repart, elle regarde encore l'heure. Arrivée chez elle, elle connait :
le temps qu'elle a passé chez Madeleine.
le temps total y compris le trajet.
Elle peut donc en déduire le temps total du trajet, et donc, en divisant par deux, le temps nécessaire pour le retour. En additionnant ce temps à l'heure qu'elle a noté chez Madeleine, elle connait l'heure exacte actuelle!
Les rasoirs
Il était une fois deux pays voisins très
amis... appelons-les la nordie et la sudie. Depuis belle lurette, leurs
deux gouvernements avaient décidé qu'un dollar du nord
vaudrait un dollar du sud. Mais un jour, à la suite d'une détérioration
de leurs relations, le gouvernement de la nordie décide qu'un
dollar du sud vaudra, dans le nord, 0,90 dollars du nord. Le gouvernement
du sud ne s'en laisse pas compter, et décide aussitôt qu'un
dollar du nord vaudra désormais 0.90 dollars du sud dans la sudie.
Un jeune homme avisé habitait à proximité
de la frontière entre ces deux pays. Un beau matin, il se rend
dans la nordie, achète un rasoir de 10 cents, et donne un dollar
du nord. Le commerçant doit lui rendre 0.9 dollars du nord, mais
n'a pas la monnaie et pour lui rembourser lui donne un dollar du sud,
ce qui en nordie est équivalent... Ensuite, ce jeune homme s'en
retourne en Sudie, et achète un paquet de lames à 10 cents.
Pour cela, il donne son dollar du sud, et le commerçant, qui
doit lui rendre 0.90 dollars du sud, lui rend en fait un dollar du nord,
ce qui bien sûr est équivalent en Sudie.
Alors analysons la situation.... Le jeune homme a toujours
son dollar du nord, plus son rasoir et ses lames, c'est tout bénéfice
pour lui.... Le premier commerçant a échangé un
dollar du sud contre un dollar du nord, et comme il habite en nordie,
il a gagné 0.10 dollars du nord, c'est tout bénéfice
pour lui... Le second commerçant a échangé un dollar
du nord contre un dollar du sud, et comme il habite en sudie, il a gagné
0,10 dollars du sud, le juste prix des lames, c'est tout bénéfice
pour lui! Mais alors, qui a payé
les rasoirs?
Ce sont les deux commerçants qui ont payé!!!
Et ils l'ont payé au moment de la dévaluation! Voici un
tableau qui explique pourquoi :
Le commerçant du nord a en magasin et
en caisse :
Commerçant du sud
Jeune homme
Avant la dévaluation :
1 dollar du sud, et un rasoir, soit dans la monnaie de son pays
: 1,1 dollars du nord
1 dollar du nord, et un paquet de lames de rasoir, soit dans la
monnaie de son pays : 1,1 dollars du sud
1 dollar du nord!
Après les dévaluations :
Son dollar du sud ne vaut plus que 0,90 dollars du nord. Il a
donc en tout 1 dollar du nord, qui est la monnaie de son pays
Son dollar du nord ne vaut plus que 0,90 dollars du sud, soit
au total dans la monnaie de son pays : 1 dollar du sud!
1 dollar du nord!
Après les achats :
Il n'a plus le rasoir, mais en caisse un dollar du nord :
Total : un dollar du nord!
Il n' a plus de lames de rasoir, mais en caisse un dollar du
sud :
Total : un dollar du sud!
1 dollar du nord, plus un rasoir et ses lames!
Analyse :
Perte sèche de 0.10 dollars du nord.
Perte sèche de 0.10 dollars du sud
Gain : un rasoir et ses lames.
Les fermières
Deux fermières viennent vendre leurs pommes au marché. La première vend 30 pommes, à raison de 2 pour 5 euros. La seconde vend 30 pommes à raison de 3 pour 5 euros. Elles vendent tous leurs fruits, la première empoche donc 75 euros, et la seconde 50, soit au total 125 euros. La semaine suivante, elles décident de s'allier à raison de 5 pour 10 euros. Elle ramène donc 120 euros. La seconde proteste : 120 euros, c'est 5 de moins que la semaine précédente. Mais où est passé l'argent?
Les deux fermières ont simplement été trop vite en besogne. Voyons comment vendre leurs pommes : une apporte 2 pommes à 5 euros, l'autre 3 pommes à 5 euros, pour faire un paquet de 5 pommes à 10 euros. Une fois 10 paquets à 10 euros faits, un des paquets est épuisé, et il reste dans le deuxième paquet 10 pommes vendues 2 pour 5 euros, soit les 10 pour 25 euros. Avec la solution choisie par les fermières, elles sont vendues 5 pour 10 euros, soit 10 pour 20 euros.
Mat en un coup
Dans le problème suivant, posé par Johannes Hermann Zukertort dans les années 1880, les blancs jouent et font mat en un coup!
Enigme posée par Boody sur le forum
La seule solution est : promouvoir le pion en g8 en un cavalier NOIR! Ce coup serait illégal maintenant
avec les règles établies par la FIDE, il aurait été autorisé dans les années 1880, quand les règles étaient moins établies.
Le partage des 17 chevaux
Un vieil homme, sentant la mort arrivée, convoque ces 3 fils. Il dit au premier : à ma mort, je te lègue la moitié de mes chevaux.
Il dit au second : à ma mort, je te lègue le tiers de mes chevaux. Il dit enfin au troisième : à ma mort, je te lègue le neuvième
de mes chevaux.
Quelques semaines plus tard, à l'annonce de son décès, les 3 frères se retrouvent. Ils sont bien embêtés car leur vieux père
possédait 17 chevaux. Arrive à dos de cheval le notaire. Il leur propose une solution qui convient à tout le monde. Quelle est cette solution?
Le notaire propose d'ajouter son cheval au 17 chevaux du grand père. Il y a donc 18 chevaux. Le premier enfant part avec 9 chevaux, le
second avec 6, et le dernier avec 2. Comme 2+6+9=17, il reste un cheval : le notaire repart donc avec son propre cheval qui n'a servi que pour faire
le partage.
