Tables de vérité

LuisFigo · 13-05-2021 09:51:43

Bonjour,

j’étudie actuellement la logique, et je voudrais savoir si mon interprétation des tables de vérité est correcte.

Prenons la celle de la disjonction « A ou B » :
A | B | « A ou B »
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Pour moi,
la valeur de « A ou B » est à 0 signifie « pas valable » ou « impossible » ou « contradiction »
la valeur de « A ou B » est à 1 signifie « valable » ou « possible » ou « pas de contradiction »

Exemple : prenons « x=1 ou x=2 »
pour x=3, cela donne « 3=1 ou 3=2 » la table de vérité répond alors « pas valable » ou « impossible » ou « contradiction »
pour x=1, , cela donne « 1=1 ou 3=2 » la table de vérité répond alors « valable » ou « possible » ou « pas de contradiction »

Mon interprétation est-elle correcte ?

Merci pour votre réponse.

Cordialement.

Dernière modification par LuisFigo (13-05-2021 09:53:54)

Roro · 13-05-2021 10:10:02

Bonjour,

Lorsque tu écris la première ligne de ton tableau :
A | B | A ou B
1 1 1
moi je lis ça comme ça : " Si A est vraie, et si B est vraie, alors (A ou B) est vraie".

la seconde ligne
A | B | A ou B
1 0 1
se lit : " Si A est vraie, et si B est fausse, alors (A ou B) est vraie".

En fait, la table te donne la définition de l'évènement (A ou B) selon les quatre cas de figure possibles pour les évènements A et B.

Roro.

Dernière modification par Roro (13-05-2021 10:11:06)

LuisFigo · 13-05-2021 10:18:14

Merci pour ta réponse,

mais le mot vrai ou faux étant source d'ambiguité quand je discute avec d'autres personnes, je cherche à mettre en place un autre vocabulaire.

Et donc je voudrais toujours savoir si mon interprétation est correcte.

Cordialement

Dernière modification par LuisFigo (13-05-2021 11:04:39)

bridgslam · 13-05-2021 11:28:44

Bonjour,

On ne peut pas invoquer si... alors ... pour commenter une table de vérité, cette locution logique étant justement basée sur les tables de vérité ( négation, ou ) , et ça tournera en rond.

Une assertion correcte est soit vraie ( symbole 1 ou V) , soit fausse ( symbole 0 ou F ) , pas les deux à la fois, ni aucune des deux.
Il n'y a pas d'échappatoire.
Cela ne préjuge pas par-contre du fait que pour certaines assertions la théorie ne permettent pas de décider ( propositions indécidables ), et pire, qu'on en soit sûr selon cette théorie.
Autre phénomène: on ne peut pas être sûr que la théorie ne sera pas contradictoire ( Gödel: on en est même certain )
De bons exemples sont fournis dans Algèbre Arnaudiès, entre autres.

Si les choses sont ambigües à ce niveau logique ( le vrai/faux ayant un caractère intrinsèque ) , on ne peut pas faire de mathématiques sur des bases saines.

Pourquoi les expressions "pas possible" , "pas valable " etc seraient t mieux que faux ( 0) ...
Pire : "possible " pour vrai ... qui laisse entrevoir un flou.
Je pense déceler le sens du "possible" que tu veux y donner: dans le cas de variables (x, y,..) et dans le cas d'un prédicat construit sur x,y...
Ca n'a pas de sens non plus, car une fois des valeurs particulières affectées aux variables, c'est vrai ou faux de toute façon, toujours pas d'ambiguïté.
D'où l'emploi des quantificateurs.
Tu utilises un prédicat "x= 1 ou x = 3". Il est normal que sa valeur de vérité dépende de la valeur donnée à x. Ce n'est donc pas une assertion.
Par-contre: "il existe x, x = 1 ou x = 2 " en est une ( vraie) , "pour tout x, x = 1 ou x = 2 " en est une autre ( fausse ).

Par ailleurs quand on emploie le terme "contradiction", il faut dire avec quoi: dire que "ce cheval est bleu" est contradictoire, aucun sens logique tout seul.

Par-contre "tous les chevaux sont blancs" et "ce cheval est bleu" est contradictoire ( sans savoir séparément ce qui est vrai/faux, à la limite on s'en balance).

Alain

LuisFigo · 13-05-2021 12:12:40

Merci Alain pour cette réponse détaillée.

Je précise donc les choses sur un exemple simple, prenons le théorème de Pythagore.
"Si un triangle est rectangle alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés" qui est une implication "Si ...alors ...".

Cet énoncé est "vrai" est souvent interprété comme on peut en faire une démonstration.
Cet énoncé est "faux" est souvent interprété comme on peut en donner un contre-exemple.

Prenons maintenant une instance de cette implication.
ABC triangle plat de longueurs 8cm 5cm et 3cm => 8^2 pas égal à 5^2 + 3^2

Dire que ceci est une implication "vraie" (ce qui n'a pas le même sens qu'avant), m'apparaît alors ambigu, qu'est-ce que ça signifie exactement ?

C'est sur ce point que j'ai un peu de mal (d'où le vocabulaire possible/impossible que je tente d'utiliser dans ce cas là).

Merci pour votre patience.

Cordialement

Dernière modification par LuisFigo (13-05-2021 13:17:21)

bridgslam · 13-05-2021 15:37:38

Bonjour,

Je ne comprends pas trop ton vocabulaire ( instance d'une implication ...) mais admettons.

Je pense qu'un prenant un exemple de triangle plat tu utilises en termes logiques la contraposée du théorème réciproque que celui que tu as donné.

En effet ( dans l'espace euclidien réel c'est vrai, pas dans un cadre plus général ) écrivons-le explicitement ( réciproque que celui que tu as énoncé):

Si un triangle du plan euclidien réel vérifie que le carré de l'hypothénuse est la somme des carrés des deux autres côtés, alors il est rectangle.

Ensuite soit un triangle plat ( visiblement tous les angles sont nuls, donc non rectangle) : alors aucun côté n'a son carré égal à ... etc.
En effet, dans le cas contraire, il serait rectangle... d'après ce qu'on vient de voir...

En logique les assertions P => Q et non(Q) => (non) P sont équivalentes.

Le triangle dont tu donnes les longueurs de côté est effectivement plat, on vérifie dans un cas particulier qu'on n'a pas la relation entre les carrés, mais on n'en a pas besoin, surtout si on n'aime pas les calculs.

Je ne vois pas bien ce qui te chiffones, il me semble que tu te compliques la vie...

Alain

bridgslam · 13-05-2021 15:47:45

Il me semble donc que tu as confondu une implication et sa réciproque, l' une pourrait être vraie et pas l'autre ( pas ici puisque le théorème de Pythagore est vrai ici dans l'autre sens , mais ce n'est pas toujours le cas ),
Ton cas particulier n 'a pas de rapport avec le théorème de Pythagore dans le sens où tu l'as donné, mais avec l'autre...

Je ne sais pas si je suis assez clair

Alain

LuisFigo · 13-05-2021 16:13:07

Merci pour votre patience Alain, je ne parle pas de la réciproque, j'ai beaucoup de mal à mieux expliquer et j'en suis désolé.
J'essaye une dernière fois après je ne vous embête plus.

J'ai trouvé un exemple plus simple !

L'exemple précédent n'est peut être pas clair car le théorème a une réciproque.
Donc je change d'exemple.

"Si x>20 alors x>10"

Cet énoncé est "vrai" est souvent interprété comme "on peut en faire une démonstration".
Cet énoncé est "faux" est souvent interprété comme "on peut en donner un contre-exemple".

Prenons maintenant la valeur x= 5,
5>20 est faux , 5>10 est faux, la table de vérité dit alors : 5>20 => 5>10 est vrai

5>20 => 5>10 est "vrai" (ce qui n'a pas le même sens qu'avant), m'apparaît alors ambigu, qu'est-ce que ça signifie exactement ?

C'est sur ce point que j'ai un peu de mal (d'où le vocabulaire possible/impossible que je tente d'utiliser dans ce cas là).

En espérant que ça soit plus clair comme ça,

Cordialement.

Dernière modification par LuisFigo (13-05-2021 16:16:48)

bridgslam · 13-05-2021 16:42:19

Reprenons, je pense que tu confonds prédicat et assertion ( notamment pour A , que tu assimiles comme égaux dans des cas de figures différents ).

Soit A( T) le prédicat : T est un triangle, et il est rectangle. Sa valeur de vérité change selon T....
Soit B(T) le prédicat : T est un triangle, et la somme .... etc. Même remarque.

Le théorème de Pythagore dit ( dans le sens usuel) : Pour tout T , A( T) => B(T).

Cela dit essentiellement ( comme ce théorème est vrai) que si A(T) est vrai, alors B(T) est vrai. Si A(T) est faux on ne peut rien dire sur B(T).

Soit P ton triangle plat. A(P) est faux ( 2 angles de mesure nulles, .une autre égal à pi ou 0 à pi près ) OK.
B(P) est faux. Il suffit de calculer.

Il est normal que l'implication A(P) => B(P) soit vraie car le faux implique n'importe quoi, le calcul de B(P) n'a servi à rien, et Pythagore tel qu' énoncé n'a même pas été utilisé.
Tu as vérifié l'implication de deux propositions fausses, sans rien utiliser.

C'est comme si tu disais "P n'est pas rectangle" implique "Je marche sur les mains", c'est vrai aussi.

La seule chose intéressante est bien la contraposée de la réciproque de Pythagore ( voir message précédent) .
Puisque A(P) est faux, et que la réciproque de Pythagore est vraie aussi, forcément B(P) est faux .
Tu n'avais même pas besoin de spécifier les dimensions de ton triangle plat, et ça marche d'ailleurs même s'il n'en existe pas dans la nature...

Alain

Roro · 13-05-2021 17:06:32

Bonjour,

N'étant pas du tout spécialiste de ceci, je réagis quand même à ceci :

bridgslam a écrit :

On ne peut pas invoquer si... alors ... pour commenter une table de vérité, cette locution logique étant justement basée sur les tables de vérité ( négation, ou ) , et ça tournera en rond.

Je suis tout à fait d'accord que d'un point de vue logique, on tourne en rond mais d'un autre coté, comment expliquer ce qu'est la table de vérité avec du vocabulaire français ?
Que signifie la première ligne :
A | B | A ou B
1 1 1
Alors, j'imagine qu'on peut le formuler sans utiliser les mots "si", "alors" etc. comme par exemple dire
"lorsque A et B sont tous les deux vrais, on a (A ou B) est vraie", mais c'est la même chose. La différence pour moi venant du fait que les termes "si", "alors" utilisés dans une phrases "littéraires" n'ont pas de sens mathématiques mais peuvent "aider" à comprendre (ou pas !).

Pour moi, la table proposée par LuisFigo est la définition même de l'assertion (A ou B) et je ne vois pas comment expliquer ce que signifie cette première ligne !

Pour la petite histoire de language :

Une mère dis à son fils : "Si tu ne ranges pas ta chambre avant ce soir, tu n'auras pas de dessert au diner !"
Le soir venu, le fiston est tout fier d'avoir rangé sa chambre, mais n'a pas eu le droit au dessert... rien d'illogique (pour un logicien, pas pour une mère !)

Roro.

Dernière modification par Roro (13-05-2021 17:06:54)

bridgslam · 13-05-2021 17:06:33

5>20 => 5>10 est vrai, là encore , indépendamment de ton implication-prédicat avec x , qui ne joue pas pour ton cas particulier x=5, contrairement à sa réciproque. tu t'en est servi autant que si tu avais d'abord écrit : si x est Napoléon alors la femme de x est Joséphine ...

Mais on est bien d'accord c'est l'implication qui est vraie , pas le résultat final 5 > 10...
Faux => ... est toujours vraie.

Donner une valeur fausse à la proposition à gauche d'une implication vraie ne sert à rien en terme de résultats.

théorème: si x = ceci alors x vérifie cela

Soit y qui ne vérifie pas ceci. Sans autre renseignement, tu ne peux rien conclure pour cela. Mais "y = ceci alors y vérifie cela " est vraie dans tous les cas.
Mais si tu sais quand même que y ne vérifie pas cela, l'implication est aussi vraie (cas particulier inutile).

Tu vois bien que tu ne t'es jamais servi du théorème pour y.

Petite question : que peux tu conclure de x >15 en suivant ton théorème pour x , rien sauf si par chance tu sais que 15 > 10 ...

Alain

bridgslam · 13-05-2021 17:21:05

Bonjour Roro,

Quand tu définis une opération x * y = z as-tu besoin de dire si x = tant et si y = tant alors z = tant ?

Le problème de la logique ( ses fondements ) est qu' il faut bien partir de quelque chose. Rajouter des mots au sens logique sur des situations , symboles qui servent à la définir me parait dangereux.
Bourbaki ne s'embète pas dans les fondements, il part d'assemblages de symboles écrits les uns à la suite des autres ( plus un opérateur [tex]\tau[/tex] ) .

Si on veut décrire avec des mots on dira b est écrit après a, c après b,.... etc pour l'assemblage abc... , or les relations d'ordre sont définies bien après "après".
Quid de "après" alors ?

Pour moi c'est le même problème qui est soulevé... on ne peut pas étudier la logique à un niveau logique.

Alain

Roro · 13-05-2021 17:45:04

C'est très clair, merci !
Roro.

LuisFigo · 14-05-2021 00:03:46

Merci pour vos réponse et votre patience.

J'ai résolu mon problème, voilà la solution que j'y apporte.

Dans le sens mathématique usuel, une propriété de la forme « Si A alors B » est vraie lorsque A « implique » B, c'est-à-dire lorsque « il y a une démonstration qui mène de A à B».
On note alors parfois cela de façon usuelle : « A => B » le symbole « => » représentant alors le raisonnement valable (ou le chemin) qui mène de A à B.

Par exemple :
« x>2 => x^2>4 » où => remplace le raisonnement valable (ou le chemin) ci-dessous :
x>2 => x-2>0 => (x-2)(x+2)>0 => x^2-4>0 => x^2>4

Maintenant,
Choisissons un x : x=5
l'hypothèse (5>2) étant vraie et le raisonnement étant valable, la conclusion (5^2>4) sera vraie.
5>2 => 5^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement mène bien à 5^2>4

5>2 => 5^2<4 (ou tout autre conclusion fausse) est « faux » au sens où
si l'on part de 5>2 le raisonnement ne mène pas à 5^2<4

Pour x=-3
l'hypothèse (-3>2) est fausse, mais le même raisonnement toujours valable mène à (-3)^2>4 qui est vraie.
-3>2 => (-3)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -3>2 le raisonnement mène bien à (-3)^2>4

Pour x=-1
l'hypothèse (-1>2) est fausse, le même raisonnement toujours valable mène à (-1)^2>4 qui est fausse.
-1>2 => (-1)^2>4 est « vrai » au sens où
si l'on part de -1>2 le raisonnement mène bien à (-1)^2>4

Maintenant en logique :
Le symbole => est uniquement un connecteur, et pas toujours un raisonnement valable.
« Faux => P » , ne signifie pas forcément qu'il existe un raisonnement qui mène de Faux à P, dire « Faux implique P » au sens usuel est abusif !

La logique se passe d'une démonstration systématique et décrète : « Faux implique P » est toujours Vrai, c'est donc un axiome (ou une convention si on veut).
Donc la table de vérité logique de l'implication A => B (au sens du connecteur) est définie en reprenant le sens usuel (pour les deux premiers cas) et en appliquant l'axiome précédent (pour les deux derniers) :

A | B | A=>B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Et c'est la même table que « nonA ou B » donc on peut définir A=>B comme « nonA ou B ».

Donc en logique : 2=50 => pi=92,5 est vrai ne signifie pas "il existe une démonstration" qui mène de 2=50 à pi=92,5. Ça veut juste que si à un moment donné on a 2=50 et pi=92,5 alors on s'autorise par l'axiome (ou par convention) de passer de l'un à l'autre.

Ce dernier exemple nous montre que, "A=>B est vrai" en logique n'est pas toujours chargé de sens, ça signifie juste le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (voilà j'ai trouvé des mots pour remplacer vrai) par axiome (ou par convention) comme dans un circuit électronique ou un programme informatique.
Mais ça n'est pas toujours le vrai mathématique usuel.

Donc, au sens usuel A=>B est :
vraie : signifie « il existe une démonstration »
fausse : signifie « il existe un contre-exemple »
et parfois ni l'un ni l'autre

Et, au sens logique A=>B est :
vrai : signifie « le passage de l'un à l'autre est autorisé ou valable (et parfois par axiome ou convention) »
faux : signifie « le passage de l'un à l'autre n'est pas autorisé ou valable »
et il n'y a aucune autre alternative

Fin.

Dernière modification par LuisFigo (14-05-2021 00:16:03)

Pidelta · 14-05-2021 06:26:25

Bonjour,

en postant sur 3 forums, je suppose que LuisFigo aura au moins eu la réponse souhaitée!!

yoshi · 14-05-2021 07:29:42

Bonjour,

@Pidelta.
Merci de ton signalement. C'est très agaçant et évidemment incorrect vis à vis de ceux qui répondent, quel que soit le forum.
Peux-tu me dire quels sont ces deux autres forums ? j'ai fait une recherche sur des phrases de sont post #1 et Google ne m'a rien trouvé....
Après quoi, je fermerai la discussion.

Yoshi
- Modérateur -

yoshi · 15-05-2021 15:49:19

Bonjour,

Un signalement m'a éclairé : 4 forums en tout, dont un sous deux identités différentes, ce qu'il estime normal parce que les réponses tardent à venir (p'têt qu'un tour sur un dictionnaire aux mots bénévoles, bénévolat ne serait pas un luxe).
Citation dédiée à tous deux qui ici et ailleurs se sont décarcassés pour expliquer, ils apprécieront :

Sur IleMaths, Luis Figo a écrit :

un document universitaire issu de mon ancienne Fac m'a permis de bien comprendre en à peine 5-10 lignes.
Ils sont trop forts ! Merci à eux !

Et je trouve que le ton employé n'est pas très respectueux sur ledit forum par exemple.

Sujet fermé

Yoshi
- Modérateur -

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-05-2021 09:51:43

Tables de vérité

#2 13-05-2021 10:10:02

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#3 13-05-2021 10:18:14

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#4 13-05-2021 11:28:44

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#5 13-05-2021 12:12:40

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#6 13-05-2021 15:37:38

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#7 13-05-2021 15:47:45

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#8 13-05-2021 16:13:07

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#9 13-05-2021 16:42:19

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