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France.L

Invité

Groupes isomorphes

Bonjour,

J'aurai besoin d'une aide méthodologique.
Je dois montrer dans un exercice que deux groupes sont isomorphes.
J'ai montré que les deux groupes sont de même cardinal mais cela ne suffit pas. Or,  je n'ai aucune application de l'un vers l'autre dans l'énoncé.
Que dois je donc faire pour montrer que les deux groupes sont isomorphes?

Merci beaucoup.

valoukanga

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Re : Groupes isomorphes

Bonjour !

Pour montrer que deux groupes sont isomorphes, il faut exhiber un isomorphisme ! S'il ne te l'ai pas donné dans l'énoncé, c'est à toi de le trouver. Dans ton cas, quels sont tes deux groupes ?

France.L

Invité

Re : Groupes isomorphes

Bonjour valoukanga,

Tout d'abord, merci pour ta réponse.
Mes deux groupes sont (Z/2^kZ)* et (Z/2Z) X (Z/2^k-2 Z).
Je sais déjà que les deux groupes sont de cardinal 2^k-1 et que(Z/2^kZ)* = {+/_ 5^r (mod 2^k) avec 1≤ r ≤  2^k-2}.
Désolée pour la lenteur de ma réponse et encore merci.

Chlore au quinoa

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Re : Groupes isomorphes

Salut !

Ton [tex]\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}^*[/tex] est défini comme ça ou c'est toi qui a déduit que c'était ça ? Parce que

1) élément neutre ??

2) Pour moi les [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] sont de cardinal p, et leurs éléments ne sont pas des entiers mais des classes d'équivalence pour la relation [tex]xRy \Longleftrightarrow n | x - y[/tex]

Corrige-moi si je suis à côté de la plaque !

France.L

Invité

Re : Groupes isomorphes

Bonjour,

1) (ℤ/2^kℤ)* est un groupe multiplicatif avec 1 pour élément neutre.
2) (ℤ/2^kℤ)* est le groupe des inversibles. C'est pour cela que son cardinal n'est pas 2^k.

Je ne sais pas si je suis clair.

valoukanga

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Re : Groupes isomorphes

Re,

À vrai dire, la démonstration de cet isomorphisme est assez technique et il faut l'avoir vu une fois. Je vais donc te donner la structure de la preuve et te laisser faire les détails (mais tu peux revenir vers nous pour poser tes questions évidemment après avoir essayé).

1) On pose $\Phi : x \mod 2^k \in (\mathbb Z/2^k \mathbb Z)^\times \mapsto x \mod 4 \in (\mathbb Z/4\mathbb Z)^\times$ et on pose $N = \ker \Phi$. Vérifier $\Phi$ est un morphisme de groupe surjectif. Ensuite, calculer le cardinal de $N$.

2) On prouve un petit lemme dont tu verras l'utilité après : si $n$ est impair positif, alors $5^{2^n} = 1+\lambda 2^{n+2}$ avec $\lambda$ impair.

3) Montrer que $5 \mod 2^r$ est d'ordre $2^{r-2}$ dans $N$. En déduire que $N \simeq (\mathbb Z/2^{k-2}\mathbb Z)^\times$.

4) Montrer que $N \times \mathbb Z/2\mathbb Z$ est isomorphe à $(\mathbb Z/2^k \mathbb Z)^\times$. Tu peux pour cela prouver le résultat suivant :

Soient $P$ et $Q$ deux sous-groupes distingués d'un groupe $G$ fini tels que $P \cap Q = \{1\}$ et $\#P \times \#Q = \#G$. L'application $\varphi : (x,y) \in P \times Q \mapsto xy \in G$ est un isomorphisme de groupes.

Voilà, c'est vraiment pas facile ! Je suis curieux de savoir dans quel contexte cette question t'es posée (exercice, démo de cours, ...).

Dernière modification par valoukanga (06-01-2021 19:40:14)

France.L

Invité

Re : Groupes isomorphes

Ouah,

ça n'a pas effectivement pas l'air facile.
Je vais essayer et reviendrai vers vous si je n'y arrive pas.
En tout cas, merci beaucoup pour votre aide.
Le contexte, c'est un exercice de TD!!

valoukanga

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Re : Groupes isomorphes

En TD, sans indication, ça m'a l'air un peu insurmontable. Il y a peut être une méthode que je ne connais pas...

France.L

Invité

Re : Groupes isomorphes

Re,

J'aurai quelques questions supplémentaires s'il vous plait:

- Dans le 3), ne faut il pas déduire que N est équivalent à (ℤ/2^k-2ℤ) plutôt que (ℤ/2^k-2ℤ)^* ?
- Dans le 4), je comprends que (ℤ/2^k-2ℤ) ∩ (ℤ/2ℤ) = {1} et comme le cardinal de(ℤ/2^k-2ℤ) X (ℤ/2ℤ) = 2^k-1= cardinal de (ℤ/2^kℤ)^*, on obtient le résultat.
Mais alors, sachant que (ℤ/2^kℤ)^*= {±5^r(mod2^k) | 1≤r≤2^k-2}, ne peut on pas simplement dire  que(ℤ/2^k-2ℤ) et (ℤ/2ℤ) sont des sous groupes de(ℤ/2^kℤ)^* (cas ou r= 2^k-2 et cas ou r=1) puis n'utiliser que le point 4 pour répondre à la question.

Merci encore.

valoukanga

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Re : Groupes isomorphes

Re,

- Pour ta première question oui, c'est une petite erreur de ma part.
- Ta méthode pour la question 4 m'a l'air ok comme ça, vu que l'intersection entre les deux est triviale. En fait, ça revient quasiment à utiliser mon petit résultat.

France.L

Invité

Re : Groupes isomorphes

Merci.
Bonne journée.