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Free13

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Questions sur lien entre matrice Diagonalisable et inversibilité

Bonjour !

Je me pose quelques questions sur ce chapitre, si vous me le permettez je vais les exposer ici.

1) est ce que deux vecteurs propres associés à la même valeur propre sont toujours linéairement indépendants ?

Selon moi oui, puisqu'une valeur propre est caractérisée par un espace propre qui forme une base de vecteurs linéairement indépendants, qui sont eux mêmes des vecteurs propres associés à la même valeur propre.

2) Est ce que le fait qu'une matrice n*n A soit inversible implique qu'il existe un systeme de coordonnées dans lequel x -> Ax est représentée par une matrice diagonale ?

Selon moi oui, car pour moi le fait que A soit inversible signifie qu'elle est semblable à la matrice identité, et donc il existe une matrice P telle que A = P^-1 I P

3) De la même façon, est ce que si tous les vecteurs propres de la base canonique de Rⁿ sont vecteurs propres de A, alors A est diagonale ?

Selon moi non, car si on a A.ei = x.ei avec ei un vecteur quelconque de la BC et x la valeur propre associée, cela n'implique pas forcément que A est diagonale mais je trouve que mon raisonnement n'est pas très rigoureux ...

4) Est ce qu'une matrice n*n admettant n vecteurs propres Linéairement indépendants est diagonalisable ? Inversible ?

Pour moi elle est diagonalisable mais pas forcément inversible . Dans le sens ou selon moi comme ils sont LI ils appartiennent à des espaces propres différents, mais j'ai l'impression de confondre des notions plus qu'autre chose.

5) Est ce qu'une matrice diagonalisable est forcément inversible ? Et l'inverse ? 

Selon moi le fait qu'une matrice diagonalisable soit par def semblable à une matrice diagonale impose qu'il existe une matrice INVERSIBLE P tq A = P^-1 D P mais je ne vois pas pourquoi cela voudrait dire qu'elle est inversible, mais encore une fois je ne suis pas très sure de mes réponses...

Fred

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Re : Questions sur lien entre matrice Diagonalisable et inversibilité

Salut,

Bonjour !

Je me pose quelques questions sur ce chapitre, si vous me le permettez je vais les exposer ici.

1) est ce que deux vecteurs propres associés à la même valeur propre sont toujours linéairement indépendants ?

Selon moi oui, puisqu'une valeur propre est caractérisée par un espace propre qui forme une base de vecteurs linéairement indépendants, qui sont eux mêmes des vecteurs propres associés à la même valeur propre.

Non! Si $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$, alors $2x$ est aussi un vecteur propre associé à $\lambda$, et $(x,2x)$ est une famille liée.

2) Est ce que le fait qu'une matrice n*n A soit inversible implique qu'il existe un systeme de coordonnées dans lequel x -> Ax est représentée par une matrice diagonale ?

Selon moi oui, car pour moi le fait que A soit inversible signifie qu'elle est semblable à la matrice identité, et donc il existe une matrice P telle que A = P^-1 I P

Je réponds en même temps à la question 5. Il n'y a aucune implication entre être inversible et être diagonalisable. Autrement dit :
* il existe des matrices inversibles diagonalisables
* il existe des matrices non inversibles diagonalisables
* il existe des matrices inversibles non diagonalisables
* il existe des matrices non inversibles non diagonalisables

3) De la même façon, est ce que si tous les vecteurs propres de la base canonique de Rⁿ sont vecteurs propres de A, alors A est diagonale ?

Oui! Il suffit d'écrire la matrice de $A$ dans la base pour s'en rendre compte.

4) Est ce qu'une matrice n*n admettant n vecteurs propres Linéairement indépendants est diagonalisable ? Inversible ?

C'est plus ou moins la définition d'être diagonalisable, non?
Et cela n'implique pas que la matrice est inversible (pense à la matrice nulle par exemple).

F.

valoukanga

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Re : Questions sur lien entre matrice Diagonalisable et inversibilité

Bonsoir !

Voici quelques réponses :

1) La réponse est non : si $v$ est un vecteur propre, alors tous ses multiples le sont aussi (il suffit de l'écrire pour s'en rendre compte).

2) Je ne suis pas très sûr de comprendre ta question. En revanche, pour ta tentative de réponse, il y a un gros problème : pourquoi être inversible impliquerait d'être semblable à l'identité ? Regarde ton écriture $A = PI_nP^{-1}$. On peut la simplifier en $A = PP^{-1}I_n  =I_n$. Ainsi, seule l'identité est semblable à l'identité.

3) Oui elle est diagonalisable grâce à la définition : ta matrice admet une base de vecteurs propres donc elle est diagonalisable.

4) Diagonalisable oui, c'est la définition de base ! Être diagonalisable c'est par définition admettre une base formée de vecteurs propres, ce qui revient à dire que c'est une famille libre formée de $n$ vecteurs (simple définition d'une base). Inversible non, il suffit qu'un vecteur propre soit associé à la valeur propre $0$ pour que ta matrice est un noyau non nul donc pour qu'elle ne soit pas inversible.

5) Une matrice diagonalisable n'est pas forcément inversible : si elle admet 0 comme valeur propre, elle a un noyau non nul donc n'est pas inversible. Pour la réciproque, elle est fausse. Il te suffit de prendre une matrice non-diagonalisable (il y a des tonnes d'exemples, en particulier sur $\mathbb R$) qui n'est pas inversible. Deux exemples : la matrice nulle, exemple bête mais il faut y penser, ou alors $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ (cette matrice a pour polynôme caractéristique $(X^2+1)$ donc n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$).

Et grillé par Fred, dommage (ça te fera deux points de vue, c'est cadeau !)...

Dernière modification par valoukanga (03-01-2021 21:16:58)

Free13

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Re : Questions sur lien entre matrice Diagonalisable et inversibilité

Merci infiniment effectivement il y avait bien des éléments que je n'avais pas compris, merci d'avoir bien voulu prendre le temps de tout m'expliquer, ça m'aide beaucoup.

Je vais reprnedre mon cours de ce pas !