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jiangzeminnarienfaitdemal

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Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$

Bonjour,

Soient $A\subseteq\mathbb{R}$ et $B\subseteq\mathbb{R}$ deux sous-ensembles non vides ayant au moins au point commun. Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$.

Voici mon raisonnement :

On admet que $A\cap B\neq\emptyset$.

Si $A$ est minoré et $B$ n'est pas minoré alors $\inf A\leq a$ pour $\forall a\in A$ et il existe $b\in B$ tel que $b\leq a$ pour $\forall a\in A$, donc $\inf A\in B$. Comme $\inf(A\cap B)\leq x$ pour $\forall x (x\in A\land x\in B)$ alors $\inf A\leq\inf(A\cap B)$. Comme $\inf A\in\mathbb{R}$ (car $A$ est minoré) alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$.

Même raisonnement si $A$ n'est pas minoré et $B$ est minoré.

A ce point, je ne suis pas sûr si le même raisonnement s'applique encore ou il y a des fautes dans mon raisonnement précédent.

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$

Bonjour

  Je ne vois pas de raison pour laquelle inf(A) est élément de B (on peut facilement construire un contre exemple).

F

touriste

Invité

Re : Si $A$ ou $B$ est minoré, alors $\inf(A\cap B)\in\mathbb{R}$

Si A est minoré par le nombre m alors tout élément de A est supérieur à m

Soit l'intersection de A et B,

Pour n'importe quel élément de A inter B cet élément appartient à A

Il est donc supérieur à m

Or si tout élément de A inter B est supérieur à m, c'est que m est un minorant de A inter B

Et comme toute partie minorée de R dispose d'une borne inférieure ...