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alae

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L'ordre dans R

Bonjour

Exercice : soient a b deux réels et c un réel positive
1) montrer que si |a|<=c et |b|<=c
Alors |a+b| + |a-b|<= 2c
2) montrer que :
Si |a+b| + |a-b| <= 2c alors |a|<=c et |b|<=c

Voilà ce que je fais à mon brouillon

Pour le 1). |a|<=c donc -c<=a<=c
|b|<=c donc -c<=b<=c
Alors -2c<=a+b<=2c c'est à dire. |a+b|<=2c (*)
De même façon |a-b|<=2c(**)
D'après (*) et (**) on obtient |a+b|+|a-b|<=4c
 

Merci pour votre aide

Dernière modification par alae (26-07-2020 17:47:09)

freddy

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Re : L'ordre dans R

Salut,

Oui mais non, tu ne pourras pas y arriver comme ça.
Sois plus simple, fais un petit croquis pour chaque position de a par rapport à b et analyse.
Par exemple, 0 <= a < b < c et déroule le calcul ! Puis tu regardes avec  a < 0 < b < c, et ainsi de suite ...

On verra après pour prouver la réciproque.

PS : on dit « merci pour votre aide, pas votre effort » ;-)

Dernière modification par freddy (26-07-2020 18:09:22)

alae

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Re : L'ordre dans R

Salut,

Non, c’est faux surtout pour la différence a-b, tu ne peux pas conclure comme tu le fais.

Sois plus simple, fais un petit croquis pour chaque position de a par rapport à b et analyse.
Par exemple, 0 <= a < b < c et déroule le calcul ! Puis tu regardes avec  a < 0 < b < c, et ainsi de suite ...

On verra après pour prouver la réciproque.

PS : on dit « merci pour votre aide, pas votre effort » ;-)

Pouvez vous monsieur m'expliquer pourquoi la différence a-b faux
-c=<a=<c et  -c=<-b=<c on addition Les deux inégalité
-2c=<a-b<=2c

Selon votre direction
J'ai tracé une droite gradué et je me fixé b puis varions a dans la première cas j'ai bien vu que la distance entre a et b (|a-b|) soit inférieure à c et aussi la distance entre a et -b (|a+b| ) soit inférieure à c

Mais au niveau d'inéquation j'arriverai pas à démontrer |a+b|<=c et |a-b|<=c

Merci pour votre aide

freddy

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Re : L'ordre dans R

Non, j’ai corrigé c’est bon mais ce n’est pas concluant, c’est tout.

Regarde le cas 0 < a  < b < c
Donc |a+b| = a + b et |a - b| = b-a
Conclus et envisage d’autres situations.
En particulier, le cas à voir est a < b et |a| > |b| !

Dernière modification par freddy (26-07-2020 18:16:05)

alae

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Re : L'ordre dans R

Regarde le cas (1) 0 < a  < b < c
Donc |a+b| = a + b et |a - b| = b-a

Alors |a+b|+|a-b|=2b or b<c alors 2b<2c alors |a+b|+|a-b|<2c
Le cas (2) a<0<b et |a|<|b|
|a+b|=a+b et |a-b| = b-a la même résultat de (1)

Le cas (3) a<0<b et |a|>|b|
|a+b| = -a - b
|a-b|= -a+b
Alors |a+b|+|a-b|=-2a

freddy

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Re : L'ordre dans R

Regarde le cas (1) 0 < a  < b < c
Donc |a+b| = a + b et |a - b| = b-a

Alors |a+b|+|a-b|=2b or b<c alors 2b<2c alors |a+b|+|a-b|<2c
Le cas (2) a<0<b et |a|<|b|
|a+b|=a+b et |a-b| = b-a la même résultat de (1)

Le cas (3) a<0<b et |a|>|b|
|a+b| = -a - b
|a-b|= -a+b
Alors |a+b|+|a-b|=-2a

Et ? Quelle conclusion ?

Ensuite, pas d'autres cas à examiner ? Genre $a \lt b \lt 0$ ?
Faut il faire les mêmes calculs avec $ b \lt a $ cette fois-ci ?

alae

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Re : L'ordre dans R

Le cas (3) a<0<b et |a|>|b|
|a+b| = -a - b
|a-b|= -a+b
Alors |a+b|+|a-b|=-2a
Monsieur Pour cette cas  avec.   a<c donc -2a>-2c alors
|a+b|+|a-b|>-2c

freddy

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Re : L'ordre dans R

Le cas (3) a<0<b et |a|>|b|
|a+b| = -a - b
|a-b|= -a+b
Alors |a+b|+|a-b|=-2a
Monsieur Pour cette cas  avec.   a<c donc -2a>-2c alors
|a+b|+|a-b|>-2c

Non, fais attention car $a$ est négatif par hypothèse, il est inférieur à $c$ (constante positive) en valeur absolue,  donc ta conclusion est erronée. Tu as toujours $-2a < 2c$

alae

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Re : L'ordre dans R

J'ai compris
étape 1 nous avons fixons le b puis varions le a on a discuté selon les trois cas possibles
étape 2 on va fixer le a puis varions le b et discuter selon les 3 cas possibles
Enfin on va conclure si |a|=<c et |b|<c alors
|a+b| + |a-b|<=2c

Dernière modification par alae (26-07-2020 20:34:44)

alae

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Re : L'ordre dans R

Pour le (1)  on peut fair une discussion selon le signe de a+b et a-b

freddy

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Re : L'ordre dans R

Salut,

Oui, en effet, tout se ramène à discuter selon le signe de la somme et de la différence des deux termes a et b. Mais pour ne pas se tromper puisque les deux opérations algébriques sont liées, ce que je t’ai proposé fonctionne bien.
Donc, si tu as bien compris, tu vas toujours te ramener à un truc genre 2a ou 2b, la conclusion vient d’elle même.
Ensuite, quand tu chercheras à prouver la réciproque, ce sera de la même manière, en étudiant le signe de la somme et de la différence de a et b.
Bon courage !

alae

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Re : L'ordre dans R

Bonjour monsieur Freddy merci infiniment pour votre aide