DM Proba stat

vivi · 13-04-2020 10:01:53

Bonjour les matheux,
J'ai un DM à rendre demain en proba/stat sur le chapitre Estimation et test et je suis un peu en galère. Je vous mets ci-dessous les questions, j'espère que quelqu'un pourra m'aider. Je vous mets toutes les questions mais moi je suis juste bloqué aux questions 12,13,14,et 15.

Exercice :
Robin fait du tir à l'arc. Soit p ∈ ]0, 1[ la probabilité qu'a Robin d'atteindre la cible lors d'un
tir.
Après une série de n tirs de Robin, on note Xn la variable aléatoire comptant le nombre de
tirs réussis et Yn = Xn/n la fréquence de tirs réussis.
1. Donner la loi de Xn, puis son espérance et sa variance.
2. En déduire l'espérance et la variance de Yn.
3. Pour n = 20 et p = 0.7, simuler une série de n tirs et calculer les valeurs observées de Xn
et de Yn. Recommencer 2 fois cette simulation et ces calculs.
4. Pour n = 20 et p = 0.7, faire ns = 500 simulations d'une série de n tirs et afficher
uniquement les 2 diagrammes en barres des fréquences des valeurs observées de Yn et de
la loi de Yn.
5. Interpréter le résultat de la question précédente, à l'aide des résultats du cours.
6. Pour tout j ∈ {1, . . . , ns}, on note fy[j] la proportion de tirs réussis lors de la j-ème série
de n tirs. Tracer la courbe de k 7→ my(k) = 1
k
Pk
j=1 fy[j], pour k = 1, . . . , ns.
7. Commenter l'allure de la courbe de la question précédente, à l'aide des résultats du cours.
8. Proposer un « bon » estimateur pb de p fondé sur le résultat de cette simulation de n·ns =
10 000 tirs. Justifier votre réponse. Calculer la valeur de |pb− p|.
9. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, peut-on dire que l'estimation pb de p
(supposé inconnu) a été obtenue par une méthode qui donnait au moins 90% de chances
d'avoir |pb− p| < 1% ?
10. À l'aide de GeoGebra, donner une valeur approchée de la probabilité d'avoir |pb−p| < 1%
lorsque p = 0.7.
11. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec quelle erreur peut-on dire que
l'estimation pb de p (supposé inconnu) a été obtenue par une méthode qui donnait au
moins 95% de chances d'avoir |pb− p| < erreur ?

Avant un entraînement intensif avec l'entraîneur Guillaume, la probabilité de réussite
de Robin était de 70% (p = 70%). Robin veut savoir si l'entraînement a augmenté son
habileté (p > 70%). Robin décide que l'entraînement a été efficace s'il réussit au moins 17 tirs dans une série de 20 tirs. Si, dans une série de 20 tirs, au moins 17 tirs sont réussis, on dit que la série est OK.
12. On suppose que l'entraînement a été inefficace. Quelle est la probabilité que Robin décide,à tort, que l'entraînement a été efficace, au vu du résultat d'une série de 20 tirs ? Et quelle est la probabilité que Robin décide, à juste titre, que l'entraînement a été inefficace ?

13. En utilisant la liste précédente des ns = 500 simulations d'une série de n tirs, tracer la courbe fOK(k) donnant la fréquence des séries OK pour k séries observées, k = 1, . . . , ns.
14. Interpréter le résultat de la question précédente, à l'aide des résultats du cours.
Robin, pessimiste, pense que l'entraînement était peu efficace et que maintenant p = 75%.
On définit les deux hypothèses H0 : « p = 70% » et H1 : « p = 75% ».
Si X20 > 17 alors Robin choisit H1, sinon il choisit H0.
15. Sous les deux hypothèses calculer P(X20 > 17). En déduire, sous chacune des deux
hypothèses, H0 puis H1, les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ? Pensez-vous que le critère de Robin
fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?

Help!!!!!!!

freddy · 13-04-2020 10:52:58

Salut,

ce qui est amusant dans ce joli sujet est qu'il fait souvent appel aux résultats du cours ... Or, sauf à être ton prof ou un étudiant de ton amphi, nous n'avons pas connaissance de ces résultats, ça va alors être difficile de te prêter assistance.

Dans l'intervalle, si tu nous donnais les réponses aux questions auxquelles tu as su répondre, on pourrait alors voir un peu mieux ce qu'il est attendu de toi ? T'en penses quoi ?

vivi · 13-04-2020 11:20:11

1. Xn ∼ B(n, p), espérance np, variance np(1 − p)
2. Yn = Xn/n donc E[Yn] = p et Var(Yn) = p(1 − p)/n.

3. listeTirs=Séquence[AléaBinomiale[1,0.7],k,1,20]
Xn=Somme[listeTirs]
Yn=Xn/20

4. listeY=Séquence[Somme[Séquence[AléaBinomiale[1,0.7],k,1,20]]/20,j,1,500]
listeVal=Séquence[k,k,0,20]/20
histoEmpYn=Barres[listeVal,Effectifs[Séquence[k,k,0,21]/20,listeY]/500]
histoTheoYn=Barres[listeVal,Séquence(Binomiale(20, 0.7, k, false), k, 0, 20)]

5. Les histogrammes empiriques convergent (quand ns → +∞) vers
l’histogramme de la loi de Yn : c’est une validation empirique de la loi des grands
nombres avec les variables (1{Yn,i=k}) pour chaque valeur de k possible.

6. Courbeq6=Séquence[(k,Somme[listeY,k]/k),k,1,500

7. Convergence vers E[Yn] = p = 0.7 : c’est la loi des grands nombres
avec les variables (Yn,i)16i6ns

8. Un estimateur de la fréquence théorique p est la fréquence observée
de tirs réussis (qui est égale à la moyenne des observations de Yn). Pourquoi ?
Car c’est la moyenne empirique, qui est un estimateur consistant de p.
Calcule de la valeur de |pb− p|.
pchapeau=Somme[listeY]/500
erreur=abs(pchapeau-0.7)
9. La variance de pb = my(ns) = 1/ns Somme allant de j =1 à ns de Y_n^(j)
est p(1 − p)/(n · ns) car les Yn^(j) sont indépendantes et de même variance p(1 − p)/n (question 2).
Sans information sur p, on ne peut faire mieux que la majoration
p(1 − p) <= max{x(1 − x)} =1/4
x∈[0,1]
Donc, Var(pb) 6 0.25/(n · ns) = 2, 5×10−5
Comme pb a une espérance finie égale à p, on peut appliquer l’inégalité
de Bienaymé-Tchebychev, et on obtient que
P |p − pb| < 1% = 1 − P(|p − pb| > 1%)> 1 −Var(pb)/0.01^2 >=> 75% .
La réponse est non : on ne peut pas dire qu’on a au moins 90% de chances d’avoir |pb− p| < 1%.

10. La variable n · nspb suit une loi B(n · ns, p), donc
P(|p − pb|) < 1%= P(7000 − 100 < n · ns*pb < 7000 + 100)
= P(n · ns*pb ∈ [6901; 7099])
≈ 0.97
via la commande
Binomiale[10000,0.7,7099,true]-Binomiale[10000,0.7,6900,true]
de Bienaymé-Tchebychev n’est pas très précise.

11. Comme à la question 9, on applique l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
∀ε > 0 , P(|pb− p| > ε) <= Var(pb)/ε^2 = p(1 − p)/ε^2 ×10^4
<=1/4ε^2 × 10^4
Et cette borne sup est égale à 0.05 si ε = 0.0224

Remarque : pb represente p chapeau, l'estimateur

vivi · 13-04-2020 12:09:08

Voilà je vous ai posé les réponses.
J'espère que cela pourra vous aidez à mieux comprendre l'exercice.

freddy · 13-04-2020 12:42:58

vivi a écrit :

Voilà je vous ai posé les réponses.
J'espère que cela pourra vous aidez à mieux comprendre l'exercice.

tu sembles comprendre ce que tu fais, sur quoi alors bloques-tu pour la suite ?
C'est quoi, ton code ? Du Python ou c'est un logiciel statistique ?

vivi · 13-04-2020 12:48:13

freddy a écrit :

vivi a écrit :
Voilà je vous ai posé les réponses.
J'espère que cela pourra vous aidez à mieux comprendre l'exercice.
tu sembles comprendre ce que tu fais, sur quoi alors bloques-tu pour la suite ?
C'est quoi, ton code ? Du Python ou c'est un logiciel statistique ?

C'est un logiciel, geogebra. Je bloque vraiment au niveau de la question 12, j'arrive pas à avancer, comment trouver les probas et savoir si l'entrainement est inefficace. Et pour la question 15 je vois pas du tout. Si vous pouvez m'aider s'il vous plait :(

freddy · 13-04-2020 15:02:41

Relis bien la question 12 ! Que dit-ellle, très exactement ?

freddy · 13-04-2020 15:16:51

Avant un entraînement intensif avec l'entraîneur Guillaume, la probabilité de réussite
de Robin était de 70% (p = 70%). Robin veut savoir si l'entraînement a augmenté son
habileté (p > 70%). Robin décide que l'entraînement a été efficace s'il réussit au moins 17 tirs dans une série de 20 tirs. Si, dans une série de 20 tirs, au moins 17 tirs sont réussis, on dit que la série est OK.
12. On suppose que l'entraînement a été inefficace. Quelle est la probabilité que Robin décide,à tort, que l'entraînement a été efficace, au vu du résultat d'une série de 20 tirs ? Et quelle est la probabilité que Robin décide, à juste titre, que l'entraînement a été inefficace ?

Et donc ?

Dernière modification par freddy (13-04-2020 15:17:48)

vivi · 13-04-2020 15:30:30

Alors ce que j'ai pensé, je définie une variable aléatoire X_20 qui suit la loi binomiale p=70% , proba à tort (X_20>=17) et à juste titre ça sera 1-Proba trouvé. non?

vivi · 13-04-2020 15:37:50

Oui autant pour moi, parce que sinon l'entrainement n'a servi à rien (son niveau est resté le même)

vivi · 13-04-2020 15:40:08

Je pense que pour cette question ça va j'ai compris. Là 15 par contre je trouve que la 1ere question est la même mais pour les autres je vois pas du tout comment faire.

freddy · 13-04-2020 15:53:56

vivi a écrit :

Alors ce que j'ai pensé, je définie une variable aléatoire X_20 qui suit la loi binomiale p=70% , proba à tort (X_20>=17) et à juste titre ça sera 1-Proba trouvé. non?

Oui !
Et la 15 c’est la 12 sous les deux hypothèses du texte.

Dernière modification par freddy (13-04-2020 15:56:55)

vivi · 13-04-2020 15:59:16

freddy a écrit :

vivi a écrit :
Alors ce que j'ai pensé, je définie une variable aléatoire X_20 qui suit la loi binomiale p=70% , proba à tort (X_20>=17) et à juste titre ça sera 1-Proba trouvé. non?
Oui !
Et la 15 c’est la 12 sous les deux hypothèses du texte.

Mais je ne sais pas comment faire pour la déduction. Soit cette partie :
"les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ? Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?"

freddy · 13-04-2020 17:19:29

vivi a écrit :

freddy a écrit :
vivi a écrit :
Alors ce que j'ai pensé, je définie une variable aléatoire X_20 qui suit la loi binomiale p=70% , proba à tort (X_20>=17) et à juste titre ça sera 1-Proba trouvé. non?
Oui !
Et la 15 c’est la 12 sous les deux hypothèses du texte.

Mais je ne sais pas comment faire pour la déduction. Soit cette partie :
"les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ? Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?"

Que valent ces probas ?

vivi · 13-04-2020 18:11:17

freddy a écrit :

vivi a écrit :
freddy a écrit :
Oui !
Et la 15 c’est la 12 sous les deux hypothèses du texte.

Mais je ne sais pas comment faire pour la déduction. Soit cette partie :
"les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ? Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?"
Que valent ces probas ?

Sous H0 : 0.1071
Sous H1 : 0.2252

freddy · 13-04-2020 18:50:06

Pardon, ce sont les probas de quoi, pas bien compris.
Ensuite, c’est juste une question de bon sens !

vivi · 13-04-2020 18:54:28

freddy a écrit :

Pardon, ce sont les probas de quoi, pas bien compris.
Ensuite, c’est juste une question de bon sens !

Proba que (X_20>=17)

freddy · 13-04-2020 18:59:17

Ok.
Et tu ne vois pas de différence ? Si tu répètes l’épreuve, tu ne penses pas que ça va se voir ?
Peut être plus clair en regardant les deux autres probas, non ?

vivi · 13-04-2020 19:02:46

freddy a écrit :

Ok.
Et tu ne vois pas de différence ? Si tu répètes l’épreuve, tu ne penses pas que ça va se voir ?
Peut être plus clair en regardant les deux autres probas, non ?

Je ne vois pas trop où voulez vous en venir, quelles autres proba? ils demandent à partir de celles ci et je vois pas vraiment quelles sont les proba que le choix de Robin soit correcte. :/

freddy · 13-04-2020 19:16:55

Robin, pessimiste, pense que l'entraînement était peu efficace et que maintenant p = 75%.
On définit les deux hypothèses H0 : « p = 70% » et H1 : « p = 75% ».
Si X20 > 17 alors Robin choisit H1, sinon il choisit H0.
15. Sous les deux hypothèses calculer $P(X_{20} \gt 17)$.
En déduire, sous chacune des deux hypothèses, les probabilités que le choix de Robin soit correct, puis les
probabilités que le choix de Robin soit incorrect ?
Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?

Reprends les questions ci-dessus ! Il faut lire attentivement.

freddy · 14-04-2020 08:59:10

Hello,

je vois que tu as du mal à finir et pourtant, c'est assez simple.
Le test pour savoir si l'entrainement a été efficace est le nombre de succès sur 20 tirs, et donc il décide que si $X_{20} \gt 17$, alors son taux de réussite est passé à $p=75$%, c'est $H_1$, sinon, il est resté à $p=70$%, c'est $H_0$.
On va voir qu'il est prudent.

En effet, la proba qu'après 20 tirs, il choisisse $H_1$ à raison est donnée par $P_{H_1}(X_{20} \gt 17)=22,52$% tandis que la proba qu'il retienne $H_0$ à raison est donnée par $P_{H_0}(X_{20} \le 17)=1-0,1071=89,29$%.

La proba qu'il retienne $H_1$ à tort est donnée par $P_{H_0}(X_{20} \gt 17)=10,71$%.

On vérifie qu'il est pessimiste et prudent, puisqu'il se donne beaucoup de chance de ne pas conserver $H_1$.

Va voir ici pour une approche plus générale.

vivi · 14-04-2020 11:51:34

Excusez moi je n'avais pas pu répondre, mais c'est bien ça que j'ai fait. Afin de montrer que le critère n'est efficace j'ai fait appel à la puissance du test .
Merci beaucoup pour votre aide.

vivi · 14-04-2020 11:54:31

Si je peux me permettre une dernière question, vous pensez que pour "Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?" on doit faire appel à la puissance du test?

freddy · 14-04-2020 12:22:04

vivi a écrit :

Si je peux me permettre une dernière question, vous pensez que pour "Pensez-vous que le critère de Robin fonctionne bien pour distinguer H1 de H0 ?" on doit faire appel à la puissance du test?

Salut,

oui, tout à fait. Qu'as-tu dit ?

vivi · 14-04-2020 12:26:37

Je ne l'ai pas encore fait, c'était juste une idée. Je ne suis pas vraiment au point, si vous pouvez s'il vous plait m'aider à développer cette idée.

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#1 13-04-2020 10:01:53

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