Forum de mathématiques - Bibm@th.net

clara18

Membre

Inscription : 10-04-2020

Messages : 1

Espérance du produit de variables aléatoires suivant loi de Bernouilli

Bonjour,

je suis tombée sur ça dans la correction d'un exercice :

"Comme Bi et Bj sont des variables de Bernoulli, on a sans problème : E(BiBj)=P([Bi =1]∩Bj =1)"

Je n'avais jamais vu ça avant, comment arrive-t-on à ce résultat?

Merci d'avance

valoukanga

Membre

Inscription : 30-11-2019

Messages : 196

Re : Espérance du produit de variables aléatoires suivant loi de Bernouilli

Bonjour !

$E[B_i B_j] = P(B_i B_j = 1) = P([B_i = 1] \cap [B_j = 1])$ puisque des deux variables sont à valeurs dans $\{0,1\}$, donc :

- d'une part, le terme en $0 \times P(B_i B_j = 1)$ saute dans ton calcul d'espérance, il te reste donc juste $1 \times P(B_iB_j=1)$, ce qui justifie la première égalité ;
- d'autre part, la seule manière pour que leur produit fasse 1 est qu'elles valent toutes les deux 1, ce qui justifie la deuxième égalité !

Dernière modification par valoukanga (10-04-2020 18:28:33)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Espérance du produit de variables aléatoires suivant loi de Bernouilli

Bonjour !

$E[B_i B_j] = P(B_i B_j = 1) = P([B_i = 1] \cap [B_j = 1])$ puisque des deux variables sont à valeurs dans $\{0,1\}$, donc :

- d'une part, le terme en $0 \times P(B_i B_j = 1)$ saute dans ton calcul d'espérance, il te reste donc juste $1 \times P(B_iB_j=1)$, ce qui justifie la première égalité ;
- d'autre part, la seule manière pour que leur produit fasse 1 est qu'elles valent toutes les deux 1, ce qui justifie la deuxième égalité !

Salut et bravo !
Comme bien souvent, il suffit de poser la définition de l’espérance pour que le résultat tombe comme un fruit mûr !