Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Dirac

Bonjour
on note par $\delta$ la distribution de Dirac.
Je sais que $\delta \notin L^1_{loc}(\mathbb{R}^d)$ et en même temps je lis des cours où il est écrit que $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) dy =1$!
1. Est ce qu'on peut vraiment écrire $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) dy =1$?
2. Est-ce que l'écriture $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) f(x,y) dy$ a un sens?
3. Dans le cas de Dirac au point zéro, que vaut $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta_0 f(x,y) dy$?

Cordialement

Dernière modification par ccapucine (06-01-2020 13:22:47)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dirac

Bonjour,

  Pour moi (mais quelqu'un d'autre précisera peut-être), l'écriture $\int_{\mathbb R^d}\delta(y)dy=1$ est un abus de langage.

Au lieu d'écrire $\int_{\mathbb R^d}\delta(y)f(x,y)dy$, il faudrait plutôt écrire $\int_{\mathbb R^d}f(x,y)d\delta(y)$, car la masse de Dirac est une mesure, et on peut intégrer par rapport à cette mesure.
Il vient alors, pour répondre à ta question 3.,  $\int_{\mathbb R^d}f(x,y)d\delta_0(y)=f(x,0)$.

F.

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Dirac

Bonjour
Merci Fred
Mais on a vu que la mesure de Dirac ne peut pas être représentée par une fonction $L^1_{loc}$ donc en principe on ne peut pas écrire $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d} \delta(y) \varphi(y) dy$. Comment on peut se permettre cet abus de language?

Bien cordialement

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Dirac

C'est une notation de physicien!!!

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : Dirac

D'accord!  Merci Fred