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calypso1988

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Derivabilité [Résolu]

BOnjour il faut que j'etudie la derivabilité de f(x)= (1+rac(1-x²))/x en x=1 je prend la formule lim (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a mais je suis bloqué dans le devellopemen quelqu'un peut il maider merci d'avance

yoshi

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Re : Derivabilité [Résolu]

Bonjour,

Je comprends ton  problème...
Moi, je ferais comme ça (procédé classique) :
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{1+sqrt{1-x^2}}{x}-\frac{1+sqrt{1-a^2}}{a}}{x-a}=\frac{a(1+sqrt{1-x^2})-x(1+sqrt{1-a^2})}{ax(x-a)}[/tex]
J'ai mis le dénominateur commun ax, donc j'ai muuilié la fracyion qui représente f(x) par a et celle qui représente f(a) par x...
J'ai ensuite fait une seule fraction de dénominateur ax, fraction que j'ai divisée par (x-a) c'est à dire multipliée par 1/(x-a) d'où le résultat ci-dessus...
Puis
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{a+a sqrt{1-x^2})-x-x sqrt{1-a^2}}{ax(x-a)}=\frac{-(x-a)+a sqrt{1-x^2})-x sqrt{1-a^2}}{ax(x-a)}=\frac{{-}(x-a)}{ax(x-a)}+\frac{a sqrt{1-x^2}-x sqrt{1-a^2}}{ax(x-a)}[/tex]

Tout ça pour quoi faire ? Pour isoler au numérateur le "bloc" racine - racine afin de multiplier Numérateur et Dénominateur par la "quantité conjuguée"...

Ce que je vais faire ci-dessous :
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{(a sqrt{1-x^2}-x sqrt{1-a^2})(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2}}{ax(x-a)}[/tex]

Soit encore :

[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{a^2(1-x^2)-x^2(1-a^2)}{ax(x-a)}[/tex]
Je développe et je réduis :
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{a^2-a^2x^2-x^2+a^2x^2)}{ax(x-a)}[/tex]
Ci-dessus c'était trop compliqué à expliquer par clavier interposé... Mais maintenant, tu dois pouvoir poursuivre seule :
réduction, factorisation et enfin simplification...

Même si notre précédente discussion s'est terminée de façon, disons un peu "abrupte", aujourd'hui est un autre jour...

Pas d'inquiétude, donc ;-)

J'ai essayé de détailler mes calculs (que j'espère sans fautes...) et de les expliquer au maximum...

Est-ce suffisant ?

@+

calypso1988

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Re : Derivabilité [Résolu]

ok merci beaucoup et pour la derivé jai trouver f'(x)= (-rac(1-x²)+1/x -1/x²)/(2*rac(1-x²))
Puis je simplifier ou est ce bon deja?
je te rapelle ma fonction f(x)= (1+rac(1-x²))/(x)

calypso1988

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Re : Derivabilité [Résolu]

j'ai retravaillé ma derivabilité en x=1 je trouve -1 est tu d'accord?

yoshi

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Re : Derivabilité [Résolu]

Bondoir,

Désolé, ce soir, je ne suis plus bon à rien... Je te répondrai demain...
D'autant que j'ai fait une erreur que tu as dû relever puisque j'avais détaillé :si j'a bien multiplié le numérateur,  j'ai oublié par contre de multiplier le dénominateur par la quantité conjuguée...
J'avais déjà éteint ma machine quand mon cerveau m'a rappelé à l'ordre, voilà pourquoi je reposte à nouveau : pour corriger l'erreur...

Ce que je vais faire ci-dessous, avec mes plus humbles excuses :
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{(a sqrt{1-x^2}-x sqrt{1-a^2})(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2}}{ax(x-a)(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2})}[/tex]

Soit encore :

[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{a^2(1-x^2)-x^2(1-a^2)}{ax(x-a)(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2})}[/tex]
Je développe et je réduis :
[tex]\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{a^2-a^2x^2-x^2+a^2x^2)}{ax(x-a)(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2})}[/tex]

[tex]\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{-1}{ax}+\frac{(a+x)(a-x)}{ax(x-a)(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2})}=\frac{-1}{ax}-\frac{a+x}{ax(a sqrt{1-x^2}+x sqrt{1-a^2})}[/tex]

En fait ta limite c'était celle de :
[tex]\frac{f(x)-f(1)}{x-1}[/tex]
quand x tend vers 1, non ?
C'eût été plus simple que de traîner ce a...

Bon f(1)=1
[tex]\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{\frac{1+sqrt{1-x^2}}{x}-1}{x-1}=\frac{1+sqrt{1-x^2}-x}{x(x-1)}[/tex]

D'où

[tex]\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{1-x}{x(x-1)}+\frac{sqrt{1-x^2}}{x(x-1)}=\frac{-1}{x}+\frac{(sqrt{1-x^2})^2}{x(x-1)sqrt{1-x^2}}[/tex]

[tex]\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{-1}{x}+\frac{(1-x)(1+x)}{x(x-1)(sqrt{1-x^2})}=\frac{-1}{x}-\frac{1+x}{x sqrt{1-x^2}}[/tex]

Et quand x --> 1 la limite est
[tex]{-1}-{2 \over 0}[/tex]

On retrouve la même chose en remplaçant a par 1

En traçant la courbe, il semble que la tangente en x = 1 à la courbe soit verticale donc de pente infinie. Or coeff dir  =valeur de la dérivée en x = 1, donc....
Tiens, je pourrais bien avoir répondu quand même... :-)

Regarde tout ça de très près quand même hein, vérifie pas à pas les calculs, on ne sait jamais : c'est très ch... à faire ! De mon temps, on était plus "policé", on disait : "bestialement calculatoire"...

Pour la dérivée, vrai, je verrai demain matin aux aurores (ou presque, n'exagérons rien !)...

@+

yoshi

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Re : Derivabilité [Résolu]

Bonjour,

[tex]U = 1+sqrt{1-x^2}\;\;U'=(1+sqrt{1-x^2})'=(sqrt{1-x^2})'={1 \over 2}\times\frac{-2x}{sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{sqrt{1-x^2}}[/tex]
[tex]V=x\;\;\;\;\;\;\;\;\,V'=1[/tex]

Avec:
[tex]\left({U \over V}\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]

Donc
[tex]f'(x)=\frac{\frac{-x^2}{sqrt{1-x^2}}-(1+sqrt{1-x^2})}{x^2}={-}\frac{1}{sqrt{1-x^2}}-\frac{1+sqrt{1-x^2}}{x^2}[/tex]

[tex]f'(x)={-}\frac{x^2+sqrt{1-x^2}+1-x^2}{x^2 sqrt{1-x^2}}[/tex]
à finir...

Et il se confirme que f'(1) n'existe pas.

@+