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ybebert

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Arithmétique T-S [Résolu]

Bonsoir,

Je séche sur la question 2 du pn suivant :

1) a,b,c etant 3 entiers naturels tels que a congru à b modulo c
démontrer que a² est congru à b² modulo c

2) soit x un entier. démontrer que si (x²-1)² n'est pas multiple de 4 alors x l'est.

Pour la question 2 je montre que si (x²-1)² est multiple de 4 alors x n'est pas un multiple de 4. j'appelerai ça ma propoqition A

et je montre que si x est multiple de 4 alors (x²-1)² n'est pas un multiple de 4 . proposition B

Mais je ne pense pas que ma proposition A et B suffisent pour démontrer que si (x²-1)é n'est pas multiple de 4 alors x l'est ....

une idée ??? sinon je vais passer pour un imbécile auprés de mon fils !!!

Merci
A+

Fred

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Re : Arithmétique T-S [Résolu]

Salut YBeBert,

  Une idée pour faire cela est de faire un raisonnement par contraposée. Tu veux démontrer p=>q. C'est pareil que démontrer (non q)=>(non p).

Ici, ce que tu dois faire, c'est montrer que si x n'est pas un multiple de 4, alors (x²-1)² est un multiple de 4.
J'ébauche une preuve. Si x n'est pas un multiple de 4, alors x s'écrit ou bien 4k+1, ou bien 4k+2, ou bien 4k+3.
*S'il s'écrit 4k+1, alors
   (4k+1)²-1=16k²+8k qui est déjà un multiple de 4, et donc le carré aussi.
*S'il s'écrit 4k+2, alors
(4k+2)²-1=16k²+16k+3=4l+3 en notant l=4k+4k.
D'où en remettant au carré, (4l+3)²=16l²+12l+9
Bon, ce nombre n'est pas un multiple de 4....

Mais si je fais x=2, alors (x²-1)²=3²=9 n'est pas un multiple de 4 et x non plus.
Tu es sûr de ton énoncé????

Fred.

ybebert

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Re : Arithmétique T-S [Résolu]

Bonsoir Fred,

Et oui aprés vérification l'énoncé est bien celui donné par le prof de mon fils... l'erreur est humaine m^me chez les profs!
Ton contre-exemple pour x= 2 est pertinent.

D'ailleurs en partant de (x²-1)² cong 2 (mod 4)
d'aprés la question 1 on peut écrire (x²-1)^4 cong 4 (mod 4) soit 0 (mod 4)
d'ou (x²-1)² cong 0 (mod 4)
d'ou  (x²-1) cong 0 (mod 4)
d'ou x² cong 1 mod 4
d'ou x cong 1 mod 4

alors que ce raisonnement aboutit bien pour (x²-1)² congru à 3 ou 1 modulo 4

Encore une question si a² congru à b² modulo c  peut-on écrire que a est congru à b modulo c ????

et une autre si a cong b mod c et a' cong b' mod c on peut écrire ab cong a'b' mod c mais peut-on écrire a/a' cong b/b' mod c ???  si a/a' et b/b' sont entiers bien surs ???

Merci de vos réponses
A+

Fred

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Re : Arithmétique T-S [Résolu]

Je continue à répondre.

si a=2, b=4 et c=4, alors a²=b² mod c alors que a n'est pas égal à b mod c.

si a=8,a'=4, b=16, b'=4, c=4, alors a=b mod c, a'=b' mod c et a/a'=2 est différent de b/b'=4 mod c

Conclusion : on ne peut pas dire n'importe quoi!

Fred.

Barbichu

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Re : Arithmétique T-S [Résolu]

Bonsoir,
cependant, si c = p est premier les choses se passent bien (grâce à la structure de corps de [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex] pour p premier)
et on a              [tex]a^2 \equiv b^2 (mod p) \quad \Rightarrow \quad a \equiv \pm b (mod p)[/tex]
ainsi que   [tex]a \equiv b (mod p)\; \wedge \; a' \equiv b' (mod p) \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{a'} \equiv \frac{b}{b'} (mod p)[/tex]  (pourvu que a' (resp b') divise a (resp b))
Mais je ne pense pas que ce soit au programme dans le secondaire.

Bonne nuit

ybebert

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Re : Arithmétique T-S [Résolu]

Bonsoir,

C'est exact Fred, on ne peut pas écrire n'importe quoi... j'aurais pris des exemples simples comme toi et ça m'aurait évité d'écrire des bétises...

Merci
A+