Forum de mathématiques - Bibm@th.net

pincelle

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Les suites

Bonjour à tous, j'ai cet exercice a réaliser, mais ayant loupé un cours, je n'arrive pas trop bien à suivre, je vous en serai reconnaissant de bien bouloir m'aider, merci d'avance !

On place un capital initial C0 de 10 000 euros à intérêts composés au taux annuel de 5%. Soit Cn le capital dont on dispose au bout de n années.

1a. Quelle est la nature de la suite (Cn) ?
b. Calculer C7 puis interpréter le résultat.

2a. Déterminer le nombre d'années minima du placement pour que le capital acquis dépasse le triple du capital initial.
b. Le résultat dépend-il du capital initial C0 ?

evaristos

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Re : Les suites

Bonjour pincelle

Cela signifie que chaque année, le capital est multiplié par 1,05 (mais en réalité l'état  prendra sa cote part sous forme d'impôt : par exemple l'assurance vie...)

pincelle

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Re : Les suites

Bonjour pincelle

Cela signifie que chaque année, le capital est multiplié par 1,05 (mais en réalité l'état  prendra sa cote part sous forme d'impôt : par exemple l'assurance vie...)

Merci pour votre réponse, cela signifie que pour la première question, la suite est de nature géométrique de raison 1,05 ?

evaristos

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Re : Les suites

ok

pincelle

Invité

Re : Les suites

ok

Ainsi, pour la question 1b, C7 = 10 000 x 1,05^7 = 14 071

Pour la question 2a, je dois déterminer le nombre d'années minimal du placement pour que le capital acquis dépasse 30 000 euros. Y a t'il une méthode plus simple pour trouver cette réponse plutôt que de faire les calculs un par un jusqu'à dépasser 30 000 ?

Zebulor

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Re : Les suites

Bonjour Pincelle,

je me permets : une méthode plus simple ? oui heureusement : le plus petit entier [tex]n[/tex] qui vérifie l'inéquation [tex]10000\times1.05^n\gt 30000[/tex] est le nombre d 'années minimal que tu recherches. Après simplifications [tex]n\gt \frac{3}{ln(1.05)}[/tex]

Dernière modification par Zebulor (19-03-2019 16:04:45)

pincelle

Invité

Re : Les suites

Bonjour Pincelle,

je me permets : une méthode plus simple ? oui heureusement : le plus petit entier [tex]n[/tex] qui vérifie l'inéquation [tex]10000*1.05^n\ge 30000[/tex] est le nombre d 'années minimal que tu recherches.

Ainsi, j'ai donc trouvé qu'au bout de 23 ans, le capital dépassera 30 000 euros.
Avec ceci, en quoi puis-je répondre à la question 2b ?

Zebulor

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Re : Les suites

Est ce que l'inégalité [tex]n\gt \frac{3}{ln(1.05)}[/tex] te permet de répondre à la question 2b ?

Black Jack

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Re : Les suites

Bonjour,

La formule n'est pas n > 3/ln(1,05)

mais bien : n > ln(3)/ln(1,05)

Zebulor

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Re : Les suites

Oui merci d'avoir rectifié Black Jack

Dernière modification par Zebulor (20-03-2019 06:28:35)

pincelle

Invité

Re : Les suites

Merci de m’avoir aidé, donc avec cette formule je trouve 22,5 donc j’arrondis a 23, ce qui donne 23 ans, mais je ne vois pas où est le rapport avec la 2b ?

yoshi

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Re : Les suites

Salut,

N'as-tu pas remarqué que 30000, c'est le triple de 10000 ?
Peut-être n'as-tu eu le détail des calculs sous le nez ?
[tex]10000\times1.05^n>30000[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]1.05^n>3[/tex]  on a simplifié en divisant par 10000 de chaque côté... Il est où maintenant le 10000 de départ ?
$\Leftrightarrow$
[tex]n\ln(1.05)>\ln(3)[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]n>\dfrac{\ln(3)}{\ln(1.05}[/tex]

Pour avoir une idée précise de la réponse à 2b, refais les calculs avec 15000. Mais ce n'est encore qu'un exemple, pas une preuve que ce que tu penses être la réponse est toujours vrai !
La preuve ne sera faite qu'en remplaçant 10000 (ou 15000) par une somme inconnue $x$...

@+

yumi

Invité

Re : Les suites

Salut,

N'as-tu pas remarqué que 30000, c'est le triple de 10000 ?
Peut-être n'as-tu eu le détail des calculs sous le nez ?
[tex]10000\times1.05^n>30000[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]1.05^n>3[/tex]  on a simplifié en divisant par 10000 de chaque côté... Il est où maintenant le 10000 de départ ?
$\Leftrightarrow$
[tex]n\ln(1.05)>\ln(3)[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]n>\dfrac{\ln(3)}{\ln(1.05}[/tex]

Pour avoir une idée précise de la réponse à 2b, refais les calculs avec 15000. Mais ce n'est encore qu'un exemple, pas une preuve que ce que tu penses être la réponse est toujours vrai !
La preuve ne sera faite qu'en remplaçant 10000 (ou 15000) par une somme inconnue $x$...

@+

Merci de vos détails, mais j'avais déjà assimilé la méthode, c'est grâce à celle-ci que j'ai trouvé 23 ans. Cependant, je ne vois pas le rapport avec la 2b, même en cherchant. J'ai remplacé 10 000 par 15 000, cela me donne 14. J'ai tenté de remplacer 10 000 ou 15 000 par x, cependant, cela me parait bizarre.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Les suites

RE,

J'ai remplacé 10 000 par 15 000, cela me donne 14

Oui... si tu laisses 30000 !
La question demande de tripler la somme de départ...
Et passer de 15000 à 30000, c'est doubler, pas tripler !

@+

Zebulor

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Re : Les suites

J'ai l'impression que c'est le sens du mot "résultat" de la question 2.b) qui te paraît ambigu ...

Dernière modification par Zebulor (19-03-2019 19:14:18)

yoshi

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Re : Les suites

Re,

@Zebulor
Je suis sûr à 99% que le problème est là :
$\dfrac{\ln(2)}{\ln(1.05)} \approx 14.206699082890463...$
Yumi a bien pris 15000 mais utilisé 30000...

@+

Zebulor

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Re : Les suites

@Yoshi

Je vois çà . De quoi prêter à confusion en effet c'est fort possible..