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ccapucine

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Messages : 195

dérivée au sens de D'

Bonjour
j'ai la question suivante: calculer $\dfrac{d}{dx} (x \ln |x|)$. Je comprends que c'est au sens des distributions qu'il faut calculer cette dérivée puisque la fonction $x \ln|x|$ n'est pas définie en 0. Tout d'abord, $x \ln|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Elle définie donc une distribution par: pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle T, \varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \ln |x| \varphi(x) dx$.
$$
\langle \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|),\varphi \rangle = - \langle x \ln|x|,\varphi' \rangle= -\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \ln|x| \varphi'(x) dx= -\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \ln(-x) \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \ln(x) dx.
$$
En utilisant l'ipp on obtient finalement que
$$
\langle \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|),\varphi\rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 (\ln(-x)-1) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} (\ln(x)-1) \varphi(x) dx.
$$
ce qui implique que
$$
\dfrac{d}{dx} (x \ln|x|)= \ln|x|-1
$$
au sens des distributions.
Dans la solution je lis le résultat suivant $ \dfrac{d}{dx} (x \ln|x|)= \ln|x|+1$. Est-ce que c'est moi qui a fait une erreur de signe ou c'est eux?

Bien cordialement

D_john

Invité

Re : dérivée au sens de D'

Salut,

Juste en prenant la question autrement et sans engagement (comme d'hab), il me semble que c'est +1.
En supposant que la dérivée au sens des distributions (hors points de discontinuité) doit correspondre à la dérivée classique, on a des dérivées nulles en abs(x)=0.37. Or ln(0.37) = -1. D'où la dérivée : ln(abs(x)) + 1.
Es-tu convaincue ?