une question de logique

Dattier · 14-11-2018 19:03:23

Bonsoir,

On se place dans AP (Arithmétique de Peano), disons que je prends A l'ensemble tel que
A={0,1} si le théorème de Goodstein est vrai
A={2,3} si le théorème de Goodstein est faux.

A est-il bien définit dans AP ?

Si oui, peut-on dire qu'il a un minimum ?

Si non pourquoi ?

Merci.

Je rappelle que le théorème de Goodstein est un indécidable de AP.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … _Goodstein

Dernière modification par Dattier (14-11-2018 19:04:18)

Michel Coste · 14-11-2018 21:00:26

Bonsoir,

Tiens, un message de ce fil a été supprimé le temps que j'y réponde.

Ton A est un ensemble définissable dans AP, et AP démontre qu'il a un minimum. Ce minimum est 0 dans les modèles de AP où Goodstein est vrai, 2 dans les modèles où il est faux.
Quel est le problème ?

Dattier · 14-11-2018 21:02:04

Mais je me place dans AP, quel est alors le min dans AP ?

Pour l'autre message, j'y avais fait une erreur.

Dattier · 14-11-2018 21:08:18

Peut-on avoir un modéle ou on a, ni TG (théorème de Goodstein), ni non(TG) ?

Michel Coste · 14-11-2018 21:10:43

Mais je me place dans AP, quel est alors le min dans AP ?

La question n'a pas de sens.

Peut-on avoir un modéle ou on a, ni TG (théorème de Goodstein), ni non(TG) ?

Non.

Dernière modification par Michel Coste (14-11-2018 21:14:46)

Dattier · 14-11-2018 21:14:38

une théorie close a pour modéle possible elle même ?

Dernière modification par Dattier (14-11-2018 21:15:05)

Michel Coste · 14-11-2018 21:17:25

Qu'est-ce que ta question veut dire ?
Qu'est-ce qu'une théorie close ?
Comment une théorie (ensemble d'énoncés d'un langage) pourrait-elle être un modèle (structure pour un langage vérifiant certains énoncés) ?

Dattier · 14-11-2018 21:23:13

close = décidable

en utilisant la méthode de Gôdel qui prouve qu'une théorie cohérente admet un modéle, non ?

Dattier · 14-11-2018 21:24:35

D'ailleurs, avec la méthode de Gödel appliquer à AP (en imaginant qu'il soit cohérent) répondrait quoi pour TG (vrai ou faux) ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … _de_Henkin

Soit T une théorie de la logique du premier ordre. Si T est cohérente, alors T admet un modèle.

Dernière modification par Dattier (14-11-2018 21:33:46)

Dattier · 14-11-2018 21:43:45

Y-a-t-il une autre façon que par une théorie du première ordre ou ordre supérieur, pour décrire un modéle ?

Michel Coste · 14-11-2018 21:46:54

Tu veux parler de théorie complète (où tout énoncé est décidable) ?

Une théorie ne peut pas être un modèle, c'est du non sens ! Ce sont deux objets de nature complètement différentes.

PS. Tu devrais sans doute étudier de façon sérieuse un livre de logique.

Dernière modification par Michel Coste (14-11-2018 21:49:12)

Dattier · 14-11-2018 21:53:00

Je n'arrive pas à étudier avec les livres, ce n'est pas par faute d'avoir essayer.

Dattier · 14-11-2018 21:55:35

Aurais-tu un livre (en français) à me conseiller, qui part du niveau 0 et arrive à un niveau respectable ?

Michel Coste · 14-11-2018 22:12:04

Cori-Lascar (2 tomes) me semble un bon choix.

Dattier · 14-11-2018 22:26:44

Merci.

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