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uni

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Fourier

Bonjour
je cherche à montrer que si $f$ est continûment dérivable et $f' \in L^1(\mathbb{R})$ alors $F(f')=i(yF(f))$.
Alors on a par définition $F(f')= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f'(x) dx$.
Par ipp on obtient
$$
F(f')= [e^{-ix \xi} f(x)]_{-\infty}^{+\infty} + i \xi \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x \xi} f(x) dx.
$$
Ma question est que dire tu terme $ [e^{-ix \xi} f(x)]_{-\infty}^{+\infty}$?
Merci d'avance

SpeakX

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Re : Fourier

Hello,
We will prove that $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= 0$ ($\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$) since $f$ is a $C^1$ function, we can write : $f(x) = f(0) + \int_{0}^{x} f'(t)dt$, which prove that the limit $\lambda = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ exists, let's suppose that $\lambda \neq 0$, so there exists a constant A such as for all $x>A$, we have $|f(x)|>\frac{|\lambda|}{2}$, which means that the surface S between $|f|$ and $y=0$ in not finite!! Absurd, because $S \leq \int |f| < \infty$.

On va prouver que $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)= 0$ ($\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$) puisque $f$ est $C^1$, on peut écrire $f$ sous la forme $f(x) = f(0) + \int_{0}^{x} f'(t)dt$, ce qui montre que la limite $\lambda = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty}$ existe, par l'absurde : si $\lambda \neq 0$, alors il existe une constante A tq pour tout $x>A$, on $|f(x)|>\frac{|\lambda|}{2}$, ce qui montre que la surface entre $|f|$ and $y=0$ est infinie!! Absurde, Car $S \leq \int |f| < \infty$

Bonne chance!

SpeakX

Dernière modification par SpeakX (06-04-2018 02:18:46)