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yoshi

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Re : Études des fonctions

Salut,

Plusieurs remarques : encore des incohérences.0..
1. Tu écris [tex]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}[/tex] ça, c'est jusyte0.
MAIS
dans ton tableau, tu notes que pour [tex]x \in ]-2\,;\,+2[[/tex] f'(x) <0...
Réfléchis 2 s à ce que tu écris : ça ne tient pas debout !

2. Où sont toutes les limites dans ton tableau ? -2 et 2 sont des valeurs interdites, mais aussi des bornes...
x = -2 est asymptote verticale...

3. f dérivable en 2 et -2. C'est faux ! : il y a un moyen très rapide (un contre-exemple) de le vérifier.
Une bonne raison La tangente à la courbe quand x tend vers -2 par valeurs inférieures se rapproche de plus en plus de la verticale, donc f'(x) tend vers l'[tex]\infty[/tex] et [tex]\lim_{x\mapsto -2^-} f(x)= -\infty[/tex]
Cherche dans un post précédent : moi, j'en ai assez maintenant de te remettre le nez sur ce que j'ai déjà écrit.

Où est la faute de raisonnement ?
Là, tu écris
[tex]\lim_{x \to -2^-} \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2} = \lim_{x \to -2^-} \frac{x^2-4}{x+2}[/tex]
Pour quelle raison
[tex]\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2} \text{ et }\frac{x^2-4}{x+2}[/tex] auraient la même limite ???
[tex]\lim_{x \to -2^-} \frac{\sqrt{x^2-4}}{x+2}=\lim_{x \to -2^-} \frac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x+2}=\lim_{x \to -2^-} \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}=\lim_{x \to -2^-}\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}[/tex]
Et maintenant
[tex]\lim_{x \to -2^-}\frac{x-2}{x+2}=\frac{-4}{0}=-\infty[/tex] 
Donc il est impossible de trouver
[tex]\lim_{x \to -2^-}\sqrt{-\infty}[/tex] sous la racine : jamais de valeur négative. T'as oublié ?

4. Oui, il faut croire que tu as oublié puisque tu oses écrire :
[tex]f(0)=0 \Leftrightarrow \sqrt{(0)^2-4}=0[/tex]
2 fautes et une imprécision en LateX
* Pour obtenir 0, il faut avoir [tex]\sqrt 0[/tex], ce n'est pas le cas... 0-4 = -4
* Et la racine de - 4 n'existe pas
Latex
il faut écrire \Leftrightarrow avec une majuscule --> [tex]\Leftrightarrow[/tex]
alors que  \leftrightarrow avec une minuscule --> [tex]\leftrightarrow[/tex]

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mouaniper

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Re : Études des fonctions

Bonjour!  Faut que je vous dises, une vérité; mais je ne me retrouve pas avec ce tableau de variation et l'étude de la dérivabilité.

yoshi

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Re : Études des fonctions

Salut,

Pour la dérivabilité, je te renvoie à lire les post #14 et #26... C'est pourtant clair...
Ce n'est pas la dérivabilité qui te joue des tours mais tes calculs fantaisistes sur les limites.

Pour le tableau de variation
1ere ligne on place \matcal{D}_fn, soit [tex]-\infty[/tex]    -2              2               [tex]+\infty[/tex]     rt les valeurs qui annulent la dérvée. Soit 0. Mais 0 n'est pas dans le domaine, donc inutile de l'écrire.
De -2  et 2 descend chaque fois une double barre...

2e ligne f'(x)  et on place les signes (le dénominateur étant toujours positif, le signe sera celui du numérateur, donc ici celui de x...)
* - sur [tex] ]-\infty\,;\,-2[[/tex]
* + sur [tex] ]2\,;\+\infty[[/tex]

3e ligne le sens de variation de f qui est :
* décroissante de [tex]+\infty[/tex] à la limite de f(x) quand x tend vers [tex]2^-[/tex] soit 0
* croissante de 0 à [tex]+\infty[/tex]

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mouaniper

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Re : Études des fonctions

* Tableau de variation de la fonction :
[tex]  \begin{array} {|c|cccccc||} x &-\infty& -2 && 2 &+\infty&
\\
{f'(x)} & - & || &  & || & + &
\\
&+\infty& || && || &+\infty&
\\
{f(x)} & \searrow &0&&0& \nearrow & \end{array} [/tex]

* Étude de la dérivabilité :
[tex]lim_{x \rightarrow -2} \frac{f(x)-f(-2)}{x+2} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{x^2-4}-0}{x+2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x+2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{x-2}×\sqrt{x+2}}{x+2} \\ \Rightarrow \lim_{x \Rightarrow -2} \frac{\sqrt{x-2}×\sqrt{x+2}×\sqrt{x+2}}{(x+2)\sqrt{x+2}}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)\sqrt{x-2}}{(x+2)\sqrt{x+2}}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2} \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}} \\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow -2}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}\sqrt{x-2}}=\frac{-4}{0}=-\infty[/tex]
D'où, [tex]f[/tex] n'est pas dérivable en -2.

[tex]lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-4}-0}{x-2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x-2}×\sqrt{x+2}}{x-2} \\ \Rightarrow \lim_{x \Rightarrow 2} \frac{\sqrt{x-2}×\sqrt{x+2}×\sqrt{x-2}}{(x-2)\sqrt{x-2}}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)\sqrt{x+2}}{(x-2)\sqrt{x-2}}\\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}} \\ \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x+2}{\sqrt{x+2}\sqrt{x-2}}=\frac{4}{0}=+\infty[/tex]
D'où, [tex]f[/tex] n'est pas dérivable en 2.

Dernière modification par mouaniper (03-01-2017 19:49:32)

mouaniper

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Re : Études des fonctions

[tex]f(x)=\frac{1+x}{1-x}[/tex]
*[tex]Df=]-\infty;1[ U ]1;+\infty[[/tex]
*Calcul des limites aux bornes du [tex]Df[/tex]:
[tex]\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+x}{1-x}= \lim_{x \rightarrow -\infty} -\frac{x}{x} =-1\\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1+x}{1-x}= \lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac{x}{x} =-1\\ \lim_{x \rightarrow 1-} \frac{1+x}{1-x}=+\infty\\ \lim_{x \rightarrow 1+} \frac{1+x}{1-x}= -\infty[/tex]
*Étude de la parité/l'imparité
-ni paire
-ni impaire

*Fonction dérivée
[tex]f'(x)=\frac{1(1-x)+1(1+x)}{(1-x)^2}= \frac{2}{(1-x)^2} [/tex]

*Tableau de variation de la fonction:

[tex]\begin{array} {|c|cccccc||} x &-\infty& 1 &+\infty& \\ {f'(x)} & + & || & +& \\ && || && \\ {f(x)} & -1\nearrow+\infty & || & +\infty\nearrow-1 & \end{array}[/tex]
*Recherche des asymptotes
-Asymptote horizontale [tex](y=1)[/tex]
-Asymptote verticale  [tex](x=1)[/tex]
*Recherche des points de rencontre avec l'axe (OI) et l'axe (OJ):
-l'axe (OI):
[tex]f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1+x}{1-x}=0 \\ \Rightarrow 1+x=0 \\ \Rightarrow x=-1[/tex]
-l'axe (OJ):
[tex]f(0)\Leftrightarrow \frac{1+0}{1-0}=\frac{1}{1}=1\\ \Rightarrow f(0)=1[/tex]

mouaniper

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Re : Études des fonctions

Bonsoir Yoshi!  Excuse moi, pour ma question; elle pourrait paraître bête; mais, prennons le cas d'un tableau de variation comme celui du post #30 et si différent de #29 .  Dans quel cas nous avons des signes (+||+); (-||+);(-||-);(+||-) pour [tex]f'(x)[/tex]?

yoshi

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Re : Études des fonctions

Salut,

Ce sont les signes de f'(x).
Dans #29, le signe de la dérivée était celui de x :  soit   -  0  +
Mais, [tex]\mathcal{D}_f=]-\infty\,;\,-2]\cup [2\,;\,+\infty[[/tex] :
[tex]0 \not \in \mathcal{D}_f[/tex], donc c'était :   -  (-2)      2   +

Dans le post #30, la dérivée étant toujours positive c'était + de chaque côté de la ||...

Tes asymptotes sont fausses

Plusieurs remarques complémentaires...
[tex]-\infty[/tex] doit être calé à gauche, [tex]+\infty[/tex] à droite et non centrés !!!!
2e remarque, une grosse bourde :
crois-tu que ce soit normal d'écrire que f est croissante de[tex] +\infty[/tex] à [tex]-1[/tex] ??? Imagine un peu la tête que ton prof ferait en lisant un truc pareil !!!!

Une asymptote est fausse...
ce n'est pas y = 1 mais y = -1
[tex]\frac{x+1}{1-x}[/tex] s'écrit aussi [tex]\frac{x+1}{-x+1}=\dfrac{x\left(1+\frac 1 x\right)}{x\left(-1+\frac 1 x\right)}=\dfrac{1+\frac 1 x}{-1+\frac 1 x}[/tex]

Et [tex]\lim_{x \to\pm\infty} \dfrac{1+\frac 1 x}{-1+\frac 1 x} = -1[/tex]

@+