Géométrie analytique du plan

mouaniper · 11-12-2016 10:40:49

Soit un répère orthonormé (O,i,j)
A(1,2) B(-1,5 ) C(2,-3)

1. Calculer l'aire de ABC
2. Déterminer les coordonnées de G,H,I respectivement centre de gravité, orthocentre, centre de (C) cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Montrer que G,H,I sont alignés
4.Déterminer une équation paramétrique de (c), cercle inscrit dans le triangle ABC
5.Déterminer l'intersection de (C) et:
i) L'axe des abscisses
ii) L'axe des ordonnés
iii) Le cercle trigonométrique

Dernière modification par mouaniper (30-12-2016 11:05:58)

yoshi · 11-12-2016 13:15:17

Bonjour,

Ce n'est pas l'habitude chez nous de laisser passer ce manque de correction sans rien dire...
N'as-tu pas vu ce qui suit ?

Quand tu t'y seras conformé, tu auras des réponses...

Merci de ta compréhension.

Yoshi
- Modérateur -

mouaniper · 11-12-2016 15:39:32

Bien vouloir m'excuser; bonsoir à tous!

Yassine · 11-12-2016 19:24:35

Bonsoir,
Est-ce tu sais trouver l'équation de la hauteur issue d'un point ?
Par exemple, la hauteur issue de $A$ vérifie les deux propriétés suivantes :

$A$ est sur la droite
Tout point $X$ de la droite vérifie $\vec{AX}$ est orthogonal à $\vec{BC}$.

Si tu sais faire ça, alors tu détermines les équations de deux hauteurs (deux équations suffisent pour trouver le point), disons issues de $A$ et $B$ et tu calcules l'intersection de ces deux droites.

Sinon, il faut attendre l'arrivée de membres plus calés que moi pour les conseils collège/lycée.

yoshi · 11-12-2016 21:04:51

Bonsoir,

Au lieu d'égrener tes calculs l'un après l'autre, post après post, m'obligeant à tout rassembler, tu aurais pou donner le détail de tes calculs afin qu'on sache ce que tu as fait et comment tu l'as fait...
En quelle classer es-tu ? Dans quel pays ?

1. Calculer l'aire du triangle ABC. Cette question m'interroge.
Tu dois être en Lycée ou en Collège à l'étranger.
Parce qu'en 3e en France, c'est impossible à faire (ça l'a été, mais c'est fini depuis 20 ans).
Voilà quatre méthodes.
* La formule de Heron d'Alexandrie.
p étant le demi-périmètre, a, b, c les longueurs des 3 côtés : [tex]A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Je doute qu'elle soit enseignée (je peux me tromper).

Les méthodes analytiques.
1. Une consiste à chercher les coordonnées du pied H de la hauteur issue de A (par exemple) et abaissée sur [BC].
Pour cela, tu as besoin de l'('équation de (BC) et l'équation de la perpendiculaire à [BC] passant par A.
La solution du système te donnera les coordonnées de H, d'où tu déduiras la longueur AH et enfin l'Aire.
C'est long et pénible.

2. Une autre est de calculer la distance du point A à la droite (BC) par exemple.
a, b et c sont tels que ax+by+c = 0 équation de (BC)
[tex]x_A[/tex], [tex]y_A[/tex] les coordonnées de A.
[tex]AH=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Je ne pense pas que cette formule soit enseignée en France

3. utilisation du produit vectoriel (sauf erreur, il n'est plus enseigné en France au Lycée)

4. utilisation du produit scalaire
Donc, comment as-tu procédé ?

Q2
Coordonnées de G :
[tex]\overrightarrow{AG}=\frac 2 3\overrightarrow{AM}[/tex] avec M milieu de [BC]
Les coordonnées de G sont celles du vecteur [tex]\overrightarrow{OG}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AG}[/tex]
Oui [tex]G\left(\frac 2 3\,;\;\frac 4 3\right)[/tex]

Coordonnées de H.
Je rejoins Yassine : résolution du système formé par les équations de deux hauteurs...

Coordonnées du centre du cercle circonscrit.
Long mais simple.
Calculer les équations de deux médiatrices.
Résoudre le système qu'elles forment.

@+

mouaniper · 11-12-2016 21:06:39

Bonsoir; je suis élève en classe de première, au Cameroun!
Effectivement; j'ai utiliser la méthode analytique, pour ces valeurs.

Voilà:
1. Aire=Base×hauteur÷2

Base=BC=√73
Hauteur=AH=d(A,(BC))=7√73÷73
Aire=√73×7√73÷73÷2=7÷2cm²

mouaniper · 11-12-2016 21:09:03

2. Effectivement
G(2/3;4/3)

mouaniper · 11-12-2016 21:10:51

J'ai des difficultés, au niveau de H ( l'orthocentre )!

yoshi · 12-12-2016 09:36:02

Salut,

Toi, je ne sais pas, mais moi, la nuit, je dors !
Donc l''orthocentre te fait des misères ?
J'ai calculé 2 fois ses coordonnées ce matin : 5 min maxi.
On te l'a expliqué post #4 et post #5.
La hauteur relative à (BC) lui est perpendicfulaire est passe par A.
Soit H cet orthocentre.
Calcul de l'équation de (AH).
Plan (avec les vecteurs)
1. Calcul des coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{BC}[/tex]
2. On pose [tex]H(\, ;\,y)[/tex] et on calcule les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AH}[/tex]
3. On utilise la condition d'orthogonalité de 2 vecteurs en l'appliquant à [tex]\overrightarrow{BC}\text{ et }\overrightarrow{AH}[/tex]
Pour mémoire avec [tex]\vec V_1(a\,;\,b)\text{ et } \vec V_2(a'\,;\,b')[/tex], elle s'écrit[tex] aa'+bb'=0[/tex]
Tu obtiens ainsi l'équation de (AH)
4. Recommence par exemple avec [tex]\overrightarrow{AC}\text{ et }\overrightarrow{BH}[/tex] :tu obtiens ainsi l'équation de (BH)
5. Tu résous le système de 2 équations à 2 inconnues formé par les 2 équations de droite.

Plan (sans les vecteurs)
1. Calculer le coefficient directeur a de (BC).
2. En déduire le coefficient directeur a' de (AH) grâce à aa'=-1
3. Tu écris que la hauteur (AH) d'équation réduite y = a'x+b passe par A
4. Recommence par exemple avec (AC) et la hauteur (BH)
5. Tu résous le système de 2 équations à 2 inconnues formé par les 2 équations de droite.

Cordonnées du centre du cercle circonscrit
Mêmes méthodes que ci-dessus à un détail près [tex]I(x\,;\;y)[/tex] et M milieu de [BC], il s'agit donc des coordonnées de [tex]\overrightarrow{MI}[/tex] et tu en tireras l'équation de la médiatrice de [BC] (par ex) ; puis, avec [tex]N(x\,;\;y)[/tex] milieu de [AC], tu cherches les coordonnées de [tex]\overrightarrow{NI}[/tex] et tu en tireras l'équation de la médiatrice de [AC] (par ex) ...

Allez, au boulot, reviens avec tes résultats (et/ou des questions)

@+

mouaniper · 12-12-2016 18:03:46

Merci!

mouaniper · 12-12-2016 19:08:42

Je résous le système formé de par les deux équations de droite (AC);(BC). Ou le système des hauteurs (AH);(BH)?

yoshi · 12-12-2016 19:33:13

Salut,

Curieuse question !!!
Tu dois trouver les équations de 2 hauteurs du type ax+by+c =0 et a'x+b'y+c'=0. Ces deux hauteurs se coupent en un point qui est l'orthocentre.
Ses coordonnées sont solution du système :
[tex]\begin{cases}ax+by+c &=0 \\ a'x+b'y+c'&=0\end{cases}[/tex]

Tu ne savais pas que 2 droites non parallèles et distinctes se coupe en un point ? ^_^

@+

mouaniper · 12-12-2016 19:45:52

Coordonnée:
H(127/23; 85/23)

yoshi · 12-12-2016 19:58:40

Salut

Pas d'accord !
Je n'ai que des dénominateurs de 7...
Je commence :
[tex]\overrightarrow{BC}(3;-8)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AH}(x-1;y-2)[/tex]
Pour que (AH) soit hauteur il faut et il suffit que :
[tex]3(x-1)+(-8)(y-2)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]3x-8y+13=0[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB}(-2;3)[/tex]
[tex]\overrightarrow{CH}(x-2;y+3)[/tex]
Pour que (CH) soit hauteur il faut et il suffit que :
[tex]-2(x-2)+3(y+3)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]-2x+3y+13=0[/tex]

A toi de poursuivre...

@+

mouaniper · 12-12-2016 20:54:03

C'est vrai!

mouaniper · 12-12-2016 20:55:18

Mais; moi je considère plutôt (BH)et(AH)

mouaniper · 12-12-2016 20:56:35

D'où H(143/7 ; 65/7)

yoshi · 12-12-2016 21:37:26

Re,

C'est juste maintenant.
Cherche donc maintenant pourquoi,tu avais un dénominateur de 23 (je l'avais fait aussi avec (AH) et (BH) et j'avais le même résultat et pasde dénominateur 23 non plus).

Continue...

Moi, j'arrête pour ce soir.

@+

mouaniper · 12-12-2016 22:05:43

Merci

yoshi · 13-12-2016 11:13:34

Salut,

Pour I : coordonnées de dénominateurs 14...

@+

mouaniper · 15-12-2016 00:14:07

(-129/14; -37/14)

G,H,I sont aligné, par la méthode du déterminant; car dét( GH,GI)=0

Dernière modification par yoshi (15-12-2016 08:00:51)

mouaniper · 29-12-2016 19:29:13

Bonsoir! S'il vous plait; comment pourrais je résoudre, la question 4?

mouaniper · 29-12-2016 20:21:10

Le cercle inscrit dans un triangle a son centre situé au point de concours des bissectrices du triangle.
Pour placer ce point, on peut déterminer les équations de deux des bissectrices et calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
Ensuite, il faudrait écrire l'équation d'un cercle centré sur ce point et chercher ses deux points d'intersection avec un côté du triangle, puis écrire que ces deux points sont confondus, le cercle étant alors tangent audit côté (et donc aux deux autres).

mouaniper · 29-12-2016 20:22:11

Pour déterminer les équations de deux des bissectrices, puisque j'ai les coordonnées des point; pourrais je calculer la distance de deux de ces points avec les équations de droite, par lesquels passent ces bissectrices?

yoshi · 29-12-2016 20:29:21

RE,

Tu te disperses... Tu reviens sur ce sujet 18 jours après l'avoir posé ?

Ta Q4 est

4. Déterminer une équation paramétrique de (C), cercle inscrit au triangle ABC

Quelque chose (en fait deux) me dérange...
On dit : cercle inscrit dans le triangle ABC --> Son centre est l'intersection des bissectrices
mais : cercle circonscrit au triangle ABC --> Son centre est l'intersection des médiatrices
Or, on t'a demandé à Q3 les coordonnées de I centre du cercle circonscrit au triangle ABC...
Alors tu parles de quoi ?
du cercle circonscrit au triangle ABC (1)
du cercle inscrit dans le triangle ABC (2)
Il serait plus logique que l'on te demande l'équation paramétrique du cercle (1)...
En tout état de cause, M(a;b) étant le centre d'un cercle de rayon R, son équation paramétrique est :
[tex]\begin{cases}x(\theta)&=a+R\cos(\theta)\\y(\theta)&=b+R\sin(\theta)\end{cases}[/tex]

@+

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