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Cirdec

Invité

condition suffisante ?

Bonjour,
je reviens sur une question déjà posée.
Je lis dans le livre de TS collection dirigée par Bertrand Hauchecorne prépas sciences.
Déf : soit A une matrice carrée d'ordre n supérieur ou égal à 2. Par définition, A est inversible s'il existe une matrice B, carrée d'ordre n également, telle que A*B =B*A=I. et dans ce cas B est la matrice inverse de A.
Il est précisé qu'en pratique, une seule vérification suffit !!!
Donc, si j'ai bien compris, il suffit de vérifier A*B = I pour prouver que A est inversible et que son inverse est B. Mais pourquoi est-il inutile de vérifier B*A = I ?
Merci pour votre aide.
Cordialement,
C.

freddy

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Re : condition suffisante ?

Salut,

à cause de l'unicité de de l'inverse de la matrice A, si elle existe !
Dans un groupe multiplicatif (G,*) abélien, c'est un résultat que tu peux démontrer facilement.
Suppose deux symétriques, et montre qu'ils ne peuvent être qu'égaux.

Ostap Bender

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Re : condition suffisante ?

Bonjour.

La réponse de freddy est correcte, mais elle ne correspond pas exactement à la question posée.
L'existence d'un inverse à droite n'entraîne pas automatiquement l'existence d'un inverse à gauche.
La question de Cirdec est plus profonde.
Pour y répondre j'aurais besoin de savoir si on se place bien au niveau terminale.

Ostap Bender

freddy

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Re : condition suffisante ?

Salut Ostap,

si tu permets, fais comme si on était au niveau enseignement supérieur, que dirais tu pour mieux éclairer Cirdec ?
L'idée est qu'en même temps, tu renseignes tous les futurs lecteurs, ce qui va bien dans le sens du site.
@+

Ostap Bender

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Re : condition suffisante ?

Bonjour freddy,

Je traduis en termes d'applications linéaires. Soit [tex]E = \mathbf R^n[/tex] et [tex]u[/tex] un endomorphisme de [tex]E[/tex].
Dire qu'il existe un endomorphisme [tex]v[/tex] de [tex]E[/tex] tel que [tex]u\circ v = Id_E[/tex] c'est dire que [tex]u[/tex] est surjectif.
Dire qu'il existe un endomorphisme [tex]v[/tex] de [tex]E[/tex] tel que [tex]v\circ v= Id_E[/tex] c'est dire que [tex]u[/tex] est injectif.

Autrement dit, il s'agit de dire que - dans le cadre des endomorphismes - on a équivalence entre injectif, surjectif et bijectif.

C'est une conséquence du théorème "trois pour le prix de deux":
Dans un espace de dimension [tex]n[/tex], si une famille vérifie deux des trois propriétés:
1) elle est libre.
2) elle est génératrice.
3) elle a [tex]n[/tex] éléments
alors elle vérifie la troisième. Ce n'est pas évident du tout, même si on s'habitue très vite à cette propriété très confortable.

Maintenant, plaçons dans le cas où [tex]E[/tex] est un ensemble, [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] des applications de [tex]E[/tex] dans [tex]E[/tex].
La propriété vue plus haut (injectif c'est surjectif et inversement) n'est plus vraie en règle générale.
Elle ne redevient vraie que si [tex]E[/tex] est fini.

Je termine en disant qu'il existe des démonstrations (presque) purement matricielles de la propriété énoncée par Cirdec/Hauchecorne.

Ostap Bender

freddy

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Re : condition suffisante ?

Merci bien.

je pense que la question de Cirdec n'allait pas aussi loin, mais la précision est importante.

Ostap Bender

Membre

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Re : condition suffisante ?

Bonjour freddy.

Je ne crois pas qu'il existe de démontration magique - courte, élémentaire et sans prérequis - de la propriété de Cirdec/Hauchecorne.
En effet cela équivaut à démontrer le théorème "trois pour le prix de deux", c'est-à-dire refaire la théorie de la dimension des espaces vectoriels de dimension finie.
J'ai cherché - à peine - du côté de la méthode de Gauss, mais si l'un des inverses se calcule par opérations sur les lignes, l'autre se calcule  par opérations sur les colonnes. Je ne vois pas comment m'en débrouiller.

On peut aussi regarder ce qu'en disent nos voisins.

Il me parait évident qu'un retour de Cirdec, aussi bref soit-il, nous permettrait de recadrer la question...

Ostap Bender

Cirdec

Invité

Re : condition suffisante ?

Bonjour,
merci beaucoup mais si j'ai bien compris, il n'existe pas de démonstration simple de niveau Terminale S permettant de le démontrer ...
Cordialement,
C.
Si A*B=I alors (B*A)*(B*A)=B*A d'où : (B*A)*(B*A)-(B*A)=0 et donc : (B*A) * [(B*A)-I] = 0 ce qui amène soit B*A=0 (exclu) soit B*A=I
est sûrement faux alors ...

Yassine

Membre

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Re : condition suffisante ?

Oui, c'est faux en général, l'anneau des matrices n'est pas intègre (cf les matrices nilpotentes par exemple : $A^n=0$)
Dans le lien indiqué par Ostap Bender, il me semble qu'un des intervenant donne un démonstration qui me semble adaptable au niveau TS. Elle utilise une version un peu moins forte que l'argument cité par Ostap Bender : Un système de $m$ équations linéaires à $m+1$ inconnues admet forcément un solution non triviale.
On suppose $AB=I$ et on cherche à résoudre $BX=aI$ qui est un système à $n^2 +1$ inconnues : les $n^2$ entrées de la matrice $X$ et le réel $a$. Ce système admet forcément un solution non trivial $(X_0, a_0)$. Si $a_0 = 0$, alors on aurait $X_0=IX_0=ABX_0=aA$ et donc $X_0=0$ ce qui est contradictoire avec le fait que $(X_0,a_0)$ n'est pas triviale. On a alors $X=\frac{1}{a}X_0$ qui vérifie $BX=\frac{1}{a}BX_0=I$.
Après, on peut appliquer le fait que l'inverse est unique pour conclure que $X=A$.

Dernière modification par Yassine (08-07-2016 16:31:07)