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chachastmg

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Je ne comprend pas mon dm pour demain

Bonjour, j'ai un DM de maths à faire pour demain, j'ai été malade donc je n'ai pas pu le faire cette semaine.
Et je ne comprend rien au sujet qui m'est demandé

Une entreprise fabrique chaque mois une quantité x d'un certain produit, x appartenant à l'intervalle [75;100].
Le coût de production de la fabrication, en euros, est donné, en fonction de x, par C(x)= x( au carré ) - 120x +9216

Partie A

1 - Calculer C'(x) ou C' désigne la dérivée de la fonction C

2 - Etudier le signe de C'(x) sur l'intervalle [75;100]

3 - En déduire le tableau de variation de C sur [75;100]

4- Tracer la représentation graphique de la fonction C sur [75;100]. On utilisera les unités graphiques suivantes :
- axe des abscisses : 1 cm pour 2 unités en commençant la graduation à 75
- axe des ordonnées : 1 cm pour 100 euros en commençant la graduation à 5600

Partie B :

On suppose que l'entreprise vend toute sa production. La recette totale R(x), en euros, est donnée par R(x) = 75,2x.
On appelle D la droite représentant la fonction R.

1- Montrer que la droite D passe par les points A ( 75;5640) et B (100;7520), puis tracer D dans le repére précedent.

2- Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise est déficitaire.

Partie C

Le coût moyen de production est donné par la fonction f définie sur l'intervalle [75;100] par f(x)= C(x)/x

1- Montrer que f(x)=x-120+9216/x

2- Montrer que f'(x)= (x-96)(x+96)/x au carré

3 a - Etudier le signe de f'(x) pour x appartenant à [75;100]
b- En déduire le tableau de variation de la fonction f sur [75;100]
c- donner la valeur de x pour laquelle ce coût est minimal. Quelle est alors la valeur de ce coût moyen minimal ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Je ne comprend pas mon dm pour demain

Bonjour,

Bienvenue chez nous...

Bon, prenons les choses par le début...
A. Dérivée
Sais-tu ce qu'est une dérivée ? A quoi ça sert ?
Si non, rapidement et en essayant d'être simple (un peu au détriment de la rigueur)...
soit une fonction f et sa courbe représentative C_f.
Prenons deux points [tex]A(x_A\;;\: y_A)[/tex] et  [tex]B(x_B\:;\:y_B)[/tex] de la courbe tels que [tex]x_A\neq x_B[/tex]
Fixons le point A et déplaçons sur la courbe B vers A, on dit qu'on fait tendre B vers A : la droite (AB) tend vers la tangente en B à la courbe.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est [tex]m =\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}[/tex]
Que devient m ? il tend vers le coefficient directeur de la tangente en A à Cf.
Voyons ça : [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
[tex]y_A=ax_A^2+bx_A+c[/tex]
[tex]y_B=ax_B^2+bx_B+c[/tex]
[tex]y_A-y_B=ax_A^2+bx_A+c -(ax_B^2+bx_B+c)=ax_A^2+bx_A-ax_B^2-bx_B= a(x_A^2-x_B^2)+b(x_A-x_B)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]y_A-y_B=a(x_A-x_B)(x_A+x_B)+b(x_A-x_B)=(x_a-x_B)\left(a(x_A+x_B)+b\right)[/tex]
et
[tex]m=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}=\frac{(x_A-x_B)\left(a(x_A+x_B)+b\right)}{x_A-x_B}[/tex]
Puisque j'ai pris [tex]x_A\neq x_B[/tex] alors [tex]x_A-x_B\neq 0[/tex] et je peux simplifier par [tex]x_A-x_B[/tex] ;
m = a(x_A+x_B)+b
La dérivée au point [tex]x_A[/tex] de la courbe, c'est la limite de m quand B tend vers A, donc quand [tex]x_B[/tex] tend vers x_A,
c'est donc [tex]2ax_A+b[/tex].
Tout ça pour dire
1. Que la dérivée de [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] est [tex]f'(x)=2ax+b[/tex]
2. Que la valeur de la dérivée en un point A d'abscisse [tex]x_A[/tex] d'une courbe est le le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe
3. Que ce faisant
    a) si dans une zone définie ,les coefficients directeurs des tangentes à la courbe sont > 0 alors dans cette zone la fonction est croissante
    b) Si en un point la dérivée est nulle on a un minimum ou un maximum, la tangente est horizontale
    c )si dans une zone définie ,les coefficients directeurs des tangentes à la courbe sont < 0 alors dans cette zone la fonction est décroissante.

B. 1ere partie.
La dérivée de  C(x)= x^2 - 120x +9216 est donc : C'(x)= ?  A toi !
(La dérivée de [tex] ax^2[/tex] c'est [tex]2ax[/tex], la dérivée de [tex]bx[/tex] est b, la dérivée de c est nulle parce que la dérivée d'une constante est nulle)
Ta dérivée C'(x) est donc de la forme C'(x)=2ax+b c'est un binôme du 1er degré.
Tu dois en étudier le signe :
pour quelle valeur s'annule-t-il (tu as l'abscisse du minimum)
pour quelles valeurs dans l'intervalle [75 ; 100] est-il négatif ? positif ?
(tu vas voir que C'(x) est strictement positive sur cet intervalle et donc que ta fonction est strictement croissante sur l'intervalle)
La représentation graphique, tu sais la faire, je pense..

2e partie
1- Montrer que la droite D passe par les points A ( 75;5640) et B (100;7520), puis tracer D dans le repère précédent.
[tex]R(x)=75,2x[/tex] est une fonction linéaire (proportionnalité), elle passe par l'origine...
Montrer qu'elle passe par un point de coordonnées (a;b) se voit en 3e, puis en 2nde, rien de "méchant".
Il te faut montrer que R(a)=b, autrement dit calculer R(a) et constater que R(a)=b

Déficit
C(x) est le coût de production, courbe Cf
R(x) est la recette n droite D.
Sans être un expert en éco, on sait qu'il y a déficit quand le coût est supérieur aux recettes, autrement dit quand ta courbe Cf est au-dessus de la droite D.

3e partie
[tex]f(x)=\frac{x^2-120x+9216}{x}=\frac{x^2-120x}{x}+\frac{9216}{x}= \cdots = \cdots[/tex]
[tex] f(x)=x-120+9216/x[/tex]
Pour trouver f'(x)
il faut dériver x
il faut dériver -120
il faut dériver [tex]\frac{9216}{x}[/tex] :

la dérivée de [tex]\frac a x[/tex] - a, étant une constante - est [tex]-\frac{a}{x^2}[/tex] donc ?
Après, il ne reste plus qu'à tout remettre sur le même dénominateur x²
Coups de pouce : ton numérateur sera une différence de 2 carrés (9216 = 96²)
Signe
Le signe de f'(x) sera celui de (x-96)(x+96) puisque x^2 >0 sur l'intervalle [75;100]
Au passage le c) de la Q3 te permet de savoir que sur cet intervalle f'(x) est <0, est nulle pour x =96, puis > 0 au delà
Et donc que ta fonction est décroissante puis croissante, sinon elle ne passerait pas par un minimum...

a toi de jouer !

@+

chachastmg

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Re : Je ne comprend pas mon dm pour demain

Bonjour, je suis désolé mais je ne comprend vraiment pas ! Je sais pas ce qu'il faut que je mette dans les calculs, je ne comprend rien à ce chapitre et en plus je l'ai pas étudié en cours donc je ne sais vraiment pas comment je vais faire sachant qu'il faut que je rende le dm pour 15 heures

yoshi

Modo Ferox

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Re : Je ne comprend pas mon dm pour demain

Bonjour,

Bon, vu l'urgence (la prchaine fois essaie de crier au secours avant 18 h, la veille de rendre le DM)..
Partie A
1. [tex]C(x) = x^2-120x+9216[/tex] donc [tex]C'(x)=2x-120 = 2(x-60)[/tex]
2. Signe de C'(x) : c'est celui de x-60
    C'(x) <0 si x <60, C'(x)=0 si x = 60, C'(x)>0 si x>60
    On vérifie ça facilement
     je prends x = 0 et je constate que C'(0)=2(0-60)=-120 <0
     je prends x= 100 et je constate que C'(100)=2(100-60)=80 >0
     Mais si x =75, alors x>60 et donc pour x = 100, on a aussi x>60.

x     |      75          100  |
------|-----------------------|
C'(x) |      30    +      80  |

Les zones avant 752 et après 100 ne nous intéressent pas...

3. Tableau de variation

x     |      75         100    |
------|------------------------|
C'(x) |      30    +     80    |
------|------------------------|
C(x)  |                7216    |
      |              /         |
      |             /          |
      |            /           |
              5841

Une flèche vers le haut ; croissance.

4.
y compris droite D

Partie B
1. R(75)=75,2*75 =5610         ok
    R(100)=75,2*100 =7520     ok

2. Graphiquement : Coût = recette pour x environ 80  et x et x environ 115 ou 116 cette dernière valeur n'est pas dans [75 ; 100]
Recette en bleu, coût (dépense en rouge)
Tu vois bien que pour x>80 et <=100 la droite bleue est au-dessus de la courbe rouge : les recettes sont supérieures aux dépenses engagées.
Donc déficit  si 75<= x <80

Partie C
1. [tex]f(x)=\frac{x^2-120x+9216}{x}=\frac{x^2-120x}{x}+\frac{9216}{x}= \frac{x(x-120)}{x}+\frac{9216}{x} = x-120+\frac{9216}{x}[/tex]

2.[tex] f(x)=x-120+\frac{9216}{x}[/tex]
Donc [tex]f'(x)=1-\frac{9216}{x^2}[/tex]  dérivée de x c'est 1, dérivée de -120 c'est 0, dérivée de [tex]\frac{9216}{x}[/tex] est [tex]-\frac{9216}{x^2}[/tex]

On remet tout sur x² :
[tex]f'(x)=1-\frac{9216}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}-\frac{9216}{x^2}=\frac{x^2-9216}{x^2}[/tex]
Ainsi que je l'avais dit [tex]x^2-9216[/tex] c'est a²-b² avec a = x et b = 96
Donc on factorise :
[tex]f'(x)=\frac{x^2-9216}{x^2}=\frac{(x-96)(x+96)}{x^2}[/tex]

3. a  Signe f'(x) est celui de (x-96)(x+96) entre 75 et 100
signe de P=(x-96)(x+96) :

x     | -oo        -96      96     +oo
------|-------------------------------
P     |       +     0   -   0   +

Donc entre 75 et 100 :

x     |75      96     100|
------|------------------|
f'(x) |     -  0   +     |  

b. Tableau de variation de f

x     |75      96     100|
------|------------------|
f'(x) |     -  0   +     |  
------|------------------|
      |77.88        72.16
f(x)  |   \        /
      |    \      /
      |     \    /
              72

Le tableau nous apprend que x =96 et f(x)=72...

Voilà, j'ai fait aussi vite que me le poermettait mes obligations.
En relisant mon premier post, puis celui-ci, ça devrait t'éclairer.

A ta disposition pour toute explication complémentaire.

Courage et rappelle à ton prof que tu as été malade et absente... Il comprendra.

@+

Myberi

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Re : Je ne comprend pas mon dm pour demain

Je suis assez impressionné par la qualité des réponses de Yoshi !!! Très clair et précis.

Mon site - parc d'attraction sud

Dernière modification par Myberi (04-04-2016 10:39:28)

freddy

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Re : Je ne comprend pas mon dm pour demain

Je suis assez impressionné par la qualité des réponses de Yoshi !!! Très clair et précis.

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