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saiira

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problème d'économie

Bonsoir, je suis étudiante en économie et la dernière fois que j'ai fais du Mathématique c'était au collège alors peut-être vous allez souvent me voir ici avec des problèmes de math. Je vous remercie d'avance pour toute aide.

Une entreprise produit F(K; L;E) = K^( α)L^( β)E^(1- α- β )   unités du produit avec
K unités de capital, L unités de main d'oeuvre et E unités d'énergie. Les prix sont respectivement r, w et p. Les paramètres α, β sont dans l'intervalle
(0; 1), et α+β < 1 ce qui garantit que F est concave. L'entreprise doit produire une unité de produit et elle minimise ses coûts.
1. Trouvez le point optimal et démontrez que c'est optimal.
2. Trouvez le coût minimal.
3. Trouvez la dérivée du coût minimal par rapport w au point optimal.
Faire la même chose pour r et p

Voilà, je me bloque sur ce même problème. J'aimerais vraiment que quelqu'un puisse m'aider à le résoudre SVP.
Alors, voilà là ou je me bloque:

F(K; L;E) = K^( α)L^( β)E^(1- α- β ) ; Sous-contraintes : rK+wL+pE≥0
Je pose ensuite le Lagrangien:

L = K^( α)L^( β)E^(1- α- β ) - λ(rK+wL+pE)
Ensuite je trouves les dérivées partielles par rapport à les trois variables (K,L et E) qui me donnent:

dL/dK= αK^(α-1)L^(β)E^(1- α- β ) -λr = 0   (1)
dLan/dL = βK^( α)L^( β-1)E^(1- α- β ) - λw=0   (2)
dL/dE = (1- α- β )K^( α)L^( β)E^(1- α- β -1) - λp = 0    (3)
dL/dλ = -rK+wL+pE =0 (4)

J'isole le lambda pour chaque équations :

(1) λ=  (αK^(α-1)L^(β)E^(1- α- β ))/r

(2) λ=( βK^( α)L^( β-1)E^(1- α- β ))/w

(3) λ=  ((1- α- β )K^( α)L^( β)E^(1- α- β -1) )/p

alors, je sais aussi que :

λ= (αK^(α-1)L^(β)E^(1- α- β ))/r = (βK^( α)L^( β-1)E^(1- α- β ))/w = ((1- α- β )K^( α)L^( β)E^(1- α- β -1))/p

Et là je suis perdue, je ne sais plus comment procéder, il y a-t-il quelqu'un qui peut m'aider SVP, c'est urgent.
Je sais bien qu'il faut que je trouve le point optimale puisque la fonction est concave. Mais je ne sais pas vraiment comment je peux faire pour simplifier la dernière équation (parce que peut-être le problème a trois variables et il est difficile pour moi?!?!?!?)
Est-ce que je procède par des produits croisés, si oui, comment fait-on des produits croisés avec trois variables c-a-d équations?

Merci d'avance

P.S : merci Freddy, j'ai vraiment essayer de coder en Latex mais je suis nulle, est-ce que je peux copier les équations de MS Word et les poster ici? Sinon, je vais continuer à essayer de me casser la tête avec Latex. Ce n'est pas "trop tard encore" ...merci encore.

Dernière modification par saiira (17-11-2014 09:30:32)

freddy

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Re : problème d'économie

Re,

ta dérivée numéro 4 contredit ta contrainte initiale. Donc problème impossible ...
As-tu bien formulé le sujet ?
Si tu n'as pas fait de maths depuis le collège (tu parles du collège français ou anglo-saxon ?), j'ai peur que ce soit un peu difficile pour toi à ce stade.

saiira

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Re : problème d'économie

Merci,

Voilà j'ai faite la petite correction. Je parle du collège au système anglo et je vais essayer de me rattraper :)

La seule place ou je m'ebrouille c'est juste comment simplifier la dernière équation, est-ce possible de me donner une petite idée pour que je me pratique on peu.

Dernière modification par saiira (17-11-2014 09:37:04)

freddy

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Re : problème d'économie

Une entreprise produit [tex]F(K, L, E) = K^{\alpha}L^{\beta}E^{1- \alpha- \beta}[/tex] unités du produit avec
K unités de capital, L unités de main d'oeuvre et E unités d'énergie.
Les prix sont respectivement r, w et p. Les paramètres α, β sont dans l'intervalle
[0, 1], et α+β < 1 ce qui garantit que F est concave.

L'entreprise doit produire une unité de produit et elle minimise ses coûts.

1. Trouvez le point optimal et démontrez que c'est optimal.
2. Trouvez le coût minimal.
3. Trouvez la dérivée du coût minimal par rapport w au point optimal.
Faire la même chose pour r et p

C'est la phrase en rouge qu'il faut traiter.
En clair, on a [tex]CT(K, L, E) =  r.K+w.L+p.E[/tex] à  minimiser sous la contrainte [tex]F(K, L, E) =1[/tex].
Il faut donc que tu reformules ton programme d'optimisation en ce sens.

saiira

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Re : problème d'économie

D'accord , je vous remercie freddy de votre assistance.