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htina

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distributions

Bonjour,
en faisant un exercice, il y'a une chose que je n'arrive pas à comprendre.
On a une distribution définie par [tex]\langle T,\varphi \rangle = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}(\varphi(\dfrac{1}{k} )- \varphi(0))[/tex]
(donc, elle est bien définie, linéaire, et continue)., où [tex]\varphi[/tex] est une fonction test de [tex]\mathbb{R}[/tex]
Puis, j'ai montré que cette distribution n'est pas d'ordre 0, c'est-à-dire que
pour tout compact[tex] K[/tex] de [tex]\R[/tex], et quelque soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\R)[/tex], il existe [tex]C>0[/tex] telle que
[tex]|\langle T,\varphi \rangle \leq C \sup_{x\in K} |\varphi (x)|[/tex]

Pour ca, j'ai pris une suite de fonctions[tex] (\varphi_n)[/tex], et je suis arrivé à la conclusion que d'un côté, [tex]||\varphi_n||_{\infty}=1,[/tex] et d'un autre côté, [tex]|\langle T,\varphi_n \rangle| \to +\infty$[/tex] quand [tex]$n \to + \infty.[/tex]

Ma question est: puisque[tex] T[/tex] est une distribution (donc bien définie), pour toute fonction test [tex]\varphi[/tex], [tex]\langle T,\varphi \rangle[/tex] est convergente. Comment alors on peut trouver que [tex]\langle T,\varphi_n \rangle[/tex] diverge??

Merci pour l'aide.

Fred

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Re : distributions

Tu confonds l'existence de [tex]\langle T,\varphi\rangle [/tex], qui dit que la distribution existe, et donc que la série converge, avec
la suite de valeurs prises par la distribution [tex](\langle T,\varphi_n\rangle)[/tex].

C'est comme si tu considérais les fonctions [tex]f_n[/tex] définies sur [tex]\mathbb R[/tex] par [tex]f_n(x)=1[/tex] si [tex]x\in [0,n] [/tex]
et [tex]f_n(x)=0[/tex] ailleurs. Alors, pour chaque entier n, l'intégrale [tex]\int_{\mathbb R}f_n[/tex] converge, et on a même [tex]\int_\mathbb R f_n=n[/tex].
Maintenant, on peut considérer la suite de réels [tex]\left(\int_\mathbb R f_n\right)[/tex]. Cette suite de réels est divergente.

htina

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Re : distributions

et pourquoi c'est bon de choisir une sute pour arriver à une contradiction? il faut plutot trouver une simple fonction \varphi. Non?

Fred

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Re : distributions

Ben non, puisque [tex]\langle T,\varphi\rangle[/tex] est toujours défini...
Pour démontrer que ta distribution n'est pas d'ordre 0, tu dois prouver qu'il n'existe pas une constante
[tex]C>0[/tex] telle que [tex]|\langle T,\varphi\rangle|\leq C\|\varphi\|_\infty[/tex]. Mais pour une seule fonction, cela va toujours marcher, en posant [tex]C=|\langle T,\varphi\rangle |/\|\varphi\|_\infty[/tex]. Pour démontrer qu'une telle constante n'existe pas, tu as besoin de trouver une suite de fonctions [tex]\varphi_n[/tex] pour laquelle la suite [tex]|\langle T,\varphi_n\rangle |/\|\varphi_n\|_\infty[/tex] n'est pas bornée.

C'est une méthode de preuve qui ressemble à celle que l'on utilise quand on veut démontrer que deux normes ne sont pas équivalentes.