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Alain222

Invité

Analyse complexe

Bonjour à tous,

Soient [tex] U \subset \mathbb{C} [/tex] un ouvert qui contient l'élément neutre [tex]0[/tex], et [tex] f : U \to \mathbb{C} [/tex] une fonction à variable complexe qui est continue.
Pourquoi [tex] f [/tex] n'existe pas lorsque elle doit vérifier :  [tex] \forall z \in U [/tex] : [tex] (f(z))^2 = z [/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Analyse complexe

Bonjour,

  Imaginons qu'une telle fonction existe. Elle est forcément définie sur un cercle [tex]\mathcal C(0,r)[/tex] contenu dans [tex]U[/tex]. Mais alors, on a forcément [tex]f(re^{i\theta})=\sqrt r e^{i\frac\theta2+k_\theta\pi}[/tex] avec [tex]k_\theta\in\{0,1\}[/tex].

Supposons par exemple que [tex]k_0=0[/tex]. Alors, par continuité de [tex]f[/tex], on a forcément [tex]k_\theta=1[/tex] pour [tex]\theta\to 2\pi^-[/tex] (quand on a fait le tour du cercle). Cela veut dire que la fonction [tex]k_\theta[/tex] prend les deux valeurs 0 et 1. Et ceci va contredire la continuité de la fonction [tex]f[/tex]. En effet, si tu poses [tex]\theta_0=\sup\{\theta\in [0,2\pi[; k_\theta=0\}[/tex], la fonction [tex]f[/tex] ne peut pas être continue en [tex]re^{i\theta_0}[/tex].

Fred.

Alain222

Invité

Re : Analyse complexe

Merci pour ta réponse. Cependant, j'ai du mal à comprendre votre raisonnement, car il est un peu compliqué par rapport à mon niveau.
Ce que je cherche à comprendre est quelles sont les directions du plan complexe suivant le point [tex]r e^{ i \theta_{0} }[/tex] sur lesquelles la limite de f ne coïncide pas. Tu m'as donné une qui est : [tex]\{ \ \theta \in [ 0 , 2 \pi [ \ / \ k_{\theta} = 1 \ \} [/tex] il me semble, il reste une deuxième.
Merci infiniment pour votre aide.