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freddy

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Re : Espérance

Re,

exact, je suis un peu diminué en ce moment, je suis d'accord avec l'analyse de totomn.
Du coup, on n'est plus très loin, enfin :-)
@+

freddy

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Re : Espérance

ANNULE ET REMPLACE

Soit n= 6 et k=2. On a alors le tableau suivant pour évaluer [tex]\Pr(X_6 \gt 2)[/tex]

[tex]\begin{matrix} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{matrix}[/tex]

Sur ces 36 couples, seuls 15 couples 21, 31, 41, 51, 61, 32, 42, 52, 62, 43, 53, 63, 54, 64, 65 permettent de continuer. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 2)=\frac{15}{6^2}[/tex]

Sur ces 15 couples, il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 3 lancers.
Il reste les 20 triplets 321, 421, 521, 621, 431, 432, 532, 531, 632, 631, 543, 542, 541, 643, 642, 641, 654, 653, 652, 641. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 3)=\frac{20}{6^3}[/tex]

Sur ces 20 triplets, il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 4 lancers.
Il reste les 15 quadruplets 4321, 5321, 6321, 5432, 5431, 5421, 6432, 6431, 6421, 6543, 6542, 6541, 6532, 6531, 6521. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 4)=\frac{15}{6^4}[/tex]

Sur ces 15 quadruplets , il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 5 lancers.
Il reste les six 5-uplet 54321, 64321, 65432, 65431, 65421, 65321.   Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 5)=\frac{6}{6^5}[/tex]

Et on finit par [tex]\Pr(X_6 \gt 6)=\frac{1}{6^6}[/tex]

Pour résumer et faire court, on a [tex]\Pr(X_n \gt k)=\frac{\binom{n}{k}}{n^k}[/tex] avec [tex]1 \le k \le n[/tex]

Blis3, tu peux remercier totomn !

Fred

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Re : Espérance

Bravo Totomm, bravo Freddy!
Pour compléter vos dires, voici une rédaction du cas général.
On a [tex]X_n>k[/tex] si on lance la roulette [tex]k[/tex] fois et qu'on a un tirage strictement décroissant.
Il y a [tex]n^k[/tex] tirages possibles. Il suffit de compter maintenant combien donnent de tirages strictement décroissants.
Un tirage strictement décroissant correspond en réalité à la donnée d'une partie à [tex]k[/tex] éléments de [tex]\{1,\dots,n\} [/tex]
(il y a une seule façon d'écrire de façon une partie de façon strictement décroissante). Donc il y a autant de tirages strictement décroissants que de parties à [tex]k[/tex] éléments dans [tex]\{1,\dots,n\}[/tex]. C'est-à-dire [tex]\binom nk[/tex].

C'est tellement simple une fois qu'on y a pensé (ou qu'on connait la solution), mais cela m'avait complètement échappé!

totomm

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Re : Espérance

Bonsoir,

C'est curieux comme le monde des probabilités brouille notre clairvoyance
On a d'emblée l'impression de devoir traiter des problèmes insurmontables
C'est yoshi qui a confessé "je ne me sens pas à l'aise avec les probabilités"
Eh bien, cet exemple devrait aider à démystifier les difficultés des probabilités
J'aime bien l'énoncé de Fred qui remet les choses en place,
Mais franchement, avoir côtoyé longuement des "suites strictement décroissantes" ( depuis le post #16 )
Sans faire le lien rapidement avec les "combinaisons", cela me fait vraiment bizarre.
Celui qui a imaginé cet énoncé a bien réussi à brouiller les pistes....

freddy

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Re : Espérance

Salut,

je sens notre ami Blis se dire  : "Ils sont bien gentils, mais bon, il manque la réponse à la seconde question ... Je vais dire quoi, moi ? Ah oui, il faut aussi que je remercie, mais ça, qu'ils n'y comptent pas trop, ils m'ont trop fait languir ! ...".
Pourtant, à bien y regarder, le plus dur est fait, la suite n'est que de la roupie pour sansonnet :-)

totomm

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Re : Espérance

Bonjour,

1. Calculer P(Xn>i)
2. En déduire la loi de Xn et son espérance.

Il est intéressant de calculer l'espérance qui tend vers [tex]e = 2.718281...[/tex] quand n tend vers l'infini.

freddy

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Re : Espérance

Salut,

@totom : exact !

freddy

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Re : Espérance

Re,

pour notre ami pas trop bavard qui nous soumet de jolis sujets de proba !

On établit sans peine que [tex]\Pr(X_n = k)=\frac{\binom{n}{k-1}}{n^{k-1}}-\frac{\binom{n}{k}}{n^{k}} [/tex]
Au passage, on vérifie bien que [tex]\Pr(X_n =1)= 0[/tex] et que [tex]\Pr(X_n=n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)^n[/tex]

L'espérance de la VA discrète est égale à [tex]E(X_n) = \sum_{k=1}^{n+1} k\times \Pr(X_n = k)=\sum_{k=1}^{n+1} n^{n-(k-1)}\times \frac{\binom{n}{k-1}}{n^{n}}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n[/tex]

Dernière modification par freddy (15-11-2014 12:05:03)