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hinata

Invité

Fraction et polynome

Bonjour ,
je suis en sup , et lors d'une exercice de colle le colleur m'a donné un polynome X^3+X^2+X+1 dans un exercice (ce n'est pas l'exercice que je ne comprend pas) je me suis dit tien! ca fait une somme geometrique alors j'ai appliqué la formule pour la somme geométrique , le colleur s'est enervé et a tout effacé et il m'a dit qu'on ne pouvait pas ecrire de fraction avec les polynomes , je n'ai pas osé lui demandé pourquoi tellement il etait depité . pourriez vous svp m'elairer ?
merci de me repondre .

Fred

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Re : Fraction et polynome

Bonjour,

  Tu ne peux pas écrire de fraction tant que tu restes dans l'espace vectoriel des polynômes. Mais tu vas très prochainement apprendre en détails ce qu'est une fraction rationnelle, et tu pourras alors faire cette manipulation en reconnaissant une somme géométrique...
Sans savoir exactement ce que tu as fait et ce que le colleur t'a reproché, difficile de t'en dire plus.

F.

hinata

Invité

Re : Fraction et polynome

j'ai ecris que mon polynome est egale a (X^4-1)/(X-1)

Fred

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Re : Fraction et polynome

Oui, je me doutais, disons qu'on ne peut pas faire cela tant qu'on reste dans l'espace des polynômes....
Quel était ton exercice?

hinata

Invité

Re : Fraction et polynome

ca parlait de racines de l'unité mais je ne me souviens plus des questions .Merci de m'avoir repondu en lisant votre reponse hier je suis parti lire sur internet une lecon sur les fraction de polynomes, mais une chose me taraude si j'ai bien compris on a le droit d'utiliser la divison euclidienne sur les fractions polynomiales mais alors toute fraction peut etre reduite a un polynome si je la simplifie et on retombe a la fin sur un polynome normal, non ? donc je ne comprend toujours pas pourquoi la fraction pose probleme si on peut la simplifier quand le degres du numerateur est superieur a celui du dénominateur.

Fred

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Re : Fraction et polynome

Non, non, on ne tombe pas toujours sur un polynôme. On peut toujours écrire une fraction rationnelle sous la forme
[tex]P(X)+\frac{A(X)}{B(X)}[/tex] où [tex]P,A,B[/tex] sont des polynômes et où le degré de A est strictement inférieure ou degré de B, mais en général on ne peut pas aller plus loin.
Par exemple, tu ne peux pas simplifier [tex]\frac 1{X-a}[/tex]

Fred.

padré

Invité

Re : Fraction et polynome

ah ok merci encore !!!

tibo

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Re : Fraction et polynome

Salut,

N’empêche qu'avec un peu de rigueur, cette écriture nous donne pas mal d'informations...
Pour tout [tex]x\in\mathbb{R}-\{-1\}[/tex], on a bien [tex]x^3+x^2+x+1=\frac{x^4-1}{x-1}[/tex].
Et là on voit immédiatement que les racines de [tex]x^3+x^2+x+1[/tex] sont les racines 4ième de l'unité sauf 1 ; soit -1, i et -i.

Mais si on veut éviter le problème de la fraction, on peut aussi écrire
[tex](X-1)(X^3+X^2+X+1)=X^4-1[/tex]

Dernière modification par tibo (12-11-2014 23:36:38)