Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hugoo

Invité

compacité

Bonjour, je me pose une question en rapport avec les cours sur la compacité que je suis.
Soit X un ensemble compact.
l'assertion "de toute suite d'éléments de X, nous pouvons extraire une sous suite convergente dans X"
est-elle une conséquence de la compacité de X, ou bien une caractérisation, ie une équivalence au fait que X soit compact?
merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : compacité

Cela dépend de la façon dont tu as défini le fait que "X est compact".

1. On peut le définir ou bien avec cette propriété.

2. On peut aussi le définir avec la propriété des recouvrements (appelée propriété de Borel-Lebesgue), puis dire que celle-ci est équivalente.

Fred.

hugoo

Invité

Re : compacité

merci beaucoup, oui en cours on définit le fait qu'un ensemble soit compact si à tout recouvrement ouvert de cet ensemble, on peut en extraire un sous recouvrement fini.
Il doit donc y avoir une preuve de l'équivalence des deux propriétés ! Je vais chercher ça.

hugoo

Invité

Re : compacité

Re, je bloque encore dans mes révision, je me demande comment une union dénombrable de fermés d'intérieur vide d'un espace topologique peut être d'intérieur non vide ... ça me semble contre nature, mais peut être que je ne me fie pas aux bons exemples d'espaces topologiques.
l'intérieur de cette union de fermés d'intérieur vide peut-elle être non vide seulement dans un espace de dimension infinie? ça me rassurerait parce que je vois bien que ça ne peut pas marcher sur R.
merci d'avance.

Choukos

Membre

Inscription : 26-12-2010

Messages : 148

Site Web

Re : compacité

Salut,
J'aurais juste une remarque au sujet de la dimension : parler de dimension ça sous entends que tu demandes en plus que ton espace soit un espace vectoriel.

Alors dans ce cas je crois que tu as raison : un espace topologique localement compact est de Baire, or d'après le théorème de Riesz, un espace vectoriel topologique est localement compact si, et seulement si, il est de dimension finie. Donc si tu cherches un espace vectoriel topologique qui ne vérifie pas la propriété de Baire, il doit être de dimension infinie.

Dans le cadre plus précis d'un e.v.n., tu peux montrer que si ton e.v.n. est de dimension infinie à base dénombrable alors il ne peux pas vérifier la propriété de Baire.
Du coup, n'importe quel e.v.n. de dimension infinie à base dénombrable ne vérifie pas la propriété de Baire, je pense par exemple à [tex](\mathbb{R}[X], \Vert \cdot \Vert_{\infty})[/tex].

Dernière modification par Choukos (11-11-2014 00:53:25)

hugoo

Invité

Re : compacité

Bonjour,
merci pour ces explications, je vois maintenant pourquoi la dimension de l'evt doit être infinie.
mais pour votre second paragraphe j'ai peut être un contre exemple à avancer.
Si on considère X un espace métrique, Y un espace métrique complet.
Et l'espace vectoriel Cb(X,Y) des applications continues bornées de X vers Y, muni de la norme infinie.
J'ai donc un espace vectoriel normé de dimension infinie.
Mais d'une part, cet espace est complet car Y l'est.
Puis, cet espace est naturellement métrique, la distance découlant de sa norme infinie.
Et tout espace métrique complet est de Baire.
Mais peut être que la dimension de Cb(X,Y) est infinie non dénombrable..?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : compacité

Mais peut être que la dimension de Cb(X,Y) est infinie non dénombrable..?

Exactement!