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Blis3

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Espérance

Bonsoir, j'aimerais avoir une aide pour cet exercice :

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une roulette est composée de n secteurs isométriques numérotées de 1 à n. Une roulette est composée de n secteurs isométriques numérotés de 1 à n. On lance la boule successivement et l'on note les résultats obtenus (correspondant au numéro du secteur dans lequel la boule s'arrete) : r1, r2, ..., ri. On s'arrete de jouer dès que r_(i+1)>=ri. Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de lancers de la boule.

1. Calculer P(Xn>i)
2. En déduire la loi de Xn et son espérance.

j'ai fait :

1. P(Xn>i)=1-P(Xn<=i)=

P(r1)=1/n
P(r2)=1/n ...=P(Ri)

je ne sais pas comment trop m'y prendre merci de m'expliquer

Fred

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Re : Espérance

Bonjour,

  Es-tu sûr de tout nous dire? Est-ce qu'il n'y a pas avant, dans ton exercice ou ton problème, une question où on te fait calculer la valeur d'une somme un peu compliquée???

Fred.

Blis3

Invité

Re : Espérance

bonjour

non tout est là !

freddy

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Re : Espérance

Salut,
je passe un coup de Latex (et quelques coups de griffes), on n'y voit rien sinon.

Soit [tex]n[/tex] un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une roulette est composée de [tex]n[/tex] secteurs isométriques numérotés de 1 à n.
On lance la boule successivement et l'on note les résultats obtenus (correspondant au numéro du secteur dans lequel la boule s'arrête) : [tex]r_1,\, r_2,\,\cdots,\, r_i[/tex] .
On s'arrête de jouer dès que [tex]r_{i+1} \ge r_i[/tex].
Soit [tex]X_n[/tex] la variable aléatoire égale au nombre de lancers de la boule.

1. Calculer [tex]P(X_n \gt i)[/tex]
2. En déduire la loi de [tex]X_n[/tex] et son espérance.

j'ai fait : (non, tu fais semblant de faire en attendant qu'on te donne la solution, puis tu t'en vas comme un voleur ...).

je ne sais pas comment trop m'y prendre merci de m'expliquer (en fait, merci de me donner la solution toute faite, j'ai autre chose "à foutre" en ce moment !)

Ça reste néanmoins un joli sujet.

Blis3

Invité

Re : Espérance

peut être pour la première question faut il écrire : [tex]P(X_n=i)=P(X_n>i-1) - P(X>i)[/tex] ?

freddy

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Re : Espérance

Re,

comme toujours, bien faire le lien entre la variable aléatoire et sa transcription dans le cadre de l'expérience aléatoire proposée.
Par exemple, si [tex]i \gt n[/tex], que peut-on dire de [tex]\Pr(X_n \gt i)[/tex] ?

Blis3

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Re : Espérance

c'est la probabilité pour que le nombre de lancers soit supérieur à i c'est donc 0 puisque i>n

Fred

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Re : Espérance

peut être pour la première question faut il écrire : [tex]P(X_n=i)=P(X_n>i-1) - P(X>i)[/tex] ?

C'est sûrement pas comme cela qu'on va s'y prendre!
Pourquoi?
Parce que à la question suivante, on te demande d'en déduire la loi de [tex]X_n[/tex]. Et la loi de [tex]X_n[/tex],  c'est par cette formule que tu vas la déduire....

Blis3

Invité

Re : Espérance

et pourquoi ne pas prendre son complémentaire? je ne comprends pas pourquoi les probabiltiés que j'avais donné tout au début ne conviennent pas...

Fred

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Re : Espérance

Ca ne veut rien dire [tex]P(r_1)[/tex]. [tex]r_1[/tex] est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans {1,...,n}. Ce qui a un sens, c'est de calculer [tex]P(r_1=k)[/tex].

Blis3

Invité

Re : Espérance

d'accord
du coup comme Xn la variable aléatoire égale au nombre de lancers de la boule, P(X_n>i)=
je ne parviens pas à "dire cette proba" en français, à comprendre à quoi elle correspond...

Fred

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Re : Espérance

Elle correspond à
[tex]r_1>r_2>\dots>r_i[/tex]

Blis3

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Re : Espérance

elle vaut 0 alors?

Fred

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Re : Espérance

Ah ben non, pas toujours....
En réalité, il faut déterminer la probabilité pour que [tex]r_1=k_1,\dots,r_i=k_i[/tex] avec [tex]k_1>k_2>\dots>k_i[/tex]. La probabilité de chaque événement élémentaire [tex]P(r_1=k_1,\dots,r_i=k_i)[/tex] vaut [tex]\frac 1{n^i}[/tex] (car on a équiprobabilité). On cherche donc à calculer
[tex]\sum_{k_1>k_2>\dots>k_i}\frac 1{n^i}[/tex] qui est une somme un peu "énorme". Il n'y a rien qui me saute aux yeux pour la simplifier (d'où ma question pour savoir s'il y avait autre chose dans cet exercice). Mais peut-être que je rate quelque chose et que Freddy va nous sortir une solution élégante!

Fred.

Blis3

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Re : Espérance

d'accord car je ne vois pas trop comment la calculer sinon

totomm

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Re : Espérance

Bonjour,

Ci-dessous : A REVOIR

Soit Xn la variable aléatoire égale au nombre de lancers de la boule, on veut calculer P(Xn>i)

Un problème équivalent est le dénombrement des suites de longueur i et "strictement décroissantes" que l'on peut faire avec un alphabet de n signes notés de 1 à n
Pour n donné, soit [tex]nb(i,s)[/tex] le nombre de telles suites de longueur i et se terminant par le signe noté s
On établit par récurrence [tex]nb(i,s)=\sum_{k=s+1}^n{nb(i-1,k)}[/tex] avec nb(2,k)=n-k pour k entier de 1 à n
Puis [tex]P(Xn>i)=\frac{\sum_{s=1}^n{nb(i,s)}  }{n^i}[/tex]

EDIT : A REVOIR

Dernière modification par totomm (12-11-2014 10:14:37)

freddy

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Re : Espérance

Salut,

ça confirme ce que je pense depuis le début, un peu comme Fred. Le sujet a dû être donné à la suite d'un cours sur un résultat de combinatoire, mais Blis3 pense que ce doit être indépendant, ou bien que nous sommes des surhommes.

La fille d'une amie a arrêté,  il y a quelques années, sa math sup le jour où elle a compris qu'il ne suffisait pas de connaître le dernier cours dispensé, mais savoir faire des liens avec tous les autres cours reçus depuis le début d'année, voire ceux du lycée.

@totom : je pense que c'est au moins [tex]n^{i+1}[/tex] au dénominateur. De plus, si on n'a pas l'expression analytique de [tex]nb(i,s)[/tex], ça ne nous même pas loin. Si tu l'as, je suis preneur :-)

Je continue à chercher, tout ce que j'ai pour le moment est assez évident, genre :
[tex]\Pr(X_n \gt n)=0,\, \Pr(X_n \gt n-1)=\left(\frac{1}{n}\right)^n=\Pr(X_n=n)[/tex]
[tex]\Pr(X_n \gt k) = \Pr(X_n = k+1) + \Pr(X_n \gt k+1),\, \cdots, \,\Pr(X_n \gt 1)=1 [/tex]

Autre piste : fixer quelques valeurs faibles pour n, genre 3, 4 et 5, pour voir le comportement des probas.
Pour n=3, c'est très rapide et instructif.
Le seul "truc" qui me titille est l'énoncé qui demande de calculer [tex]\Pr(X_n \gt k)[/tex]. En théorie comme en pratique, ça devrait faciliter les calculs ....

totomm

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Re : Espérance

Bonsoir,

CI dessous : A REVOIR

@freddy, j'ai bien sûr regardé avec de faibles valeurs de n, effectivement instructif.
Quand j'ai compris, j'ai calculé avec de grandes valeurs de n (au delà de 20) pour bien vérifier la récurrence que j'avais établie
puis j'ai fait une bonne simulation indépendante de ce premier calcul .

Je crois pouvoir maintenir [tex]n^i[/tex] au dénominateur, mais cela dépend de l'interprétation que j'ai faite de Pr(Xn>i)
par exemple, pour n=4 et i= 2 lancers, il y a 16 suites dont 6 permettent d'effectuer un 3ème lancer : 21,31,41,32,42,43
et 10  arrètent les lancers : 11,12,22,13,23,33,14,24,34,44.Donc j'interprète Pr(Xn=2)=10/16 et Pr(Xn>2)=6/16
mais j'ai peut-être tort à cause de "On s'arrete de jouer dès que r_(i+1)>=ri" car dans mon exemple j'interprète i=2 valeur de mon lancer courant !!

Si on doit prendre i+1=2, il faut effectivement reprendre mon dénominateur en n^{i+1},

Je suis preneur de toute expression analytique, vous devriez trouver avant moi...
EDIT : A REVOIR

Dernière modification par totomm (12-11-2014 10:13:28)

Blis3

Invité

Re : Espérance

je vous assure que cet exercice est entier, il est présenté tel quel sur ma fiche d'exos !

Fred

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Re : Espérance

Alors on sera ravis que tu nous donnes la correction de ton prof quand tu l'auras!

freddy

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Re : Espérance

Re,

@totomn : pas d'accord, [tex]\Pr(X_4 \gt 2) = \Pr(X_4 = 3)+\Pr(X_4 = 4)[/tex] !

MAIS la piste peut se révéler fructueuse :-)

Dernière modification par freddy (12-11-2014 07:57:15)

freddy

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Re : Espérance

je vous assure que cet exercice est entier, il est présenté tel quel sur ma fiche d'exos !

OK, mais dans le cadre de quel cours ?

totomm

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Re : Espérance

Bonjour,

Oui, je me suis un peu précipité entre = et > et les i : A REVOIR

freddy

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Re : Espérance

Re,

pas grave, car je pense que tu viens d'ouvrir une piste intéressante. Au début, je voulais absolument calculer de manière décroissante, cherchant une loi "apparente", en partant de k=n, puis n-1, puis n-2, usw ...
En prenant ta piste, voici lce qu'on voit.

Soit n= 6 et k=2. On a alors le tableau suivant pour évaluer [tex]\Pr(X_6 \gt 2)[/tex]

[tex]\begin{matrix} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46 \\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56 \\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{matrix}[/tex]

Sur ces 36 couples, seuls 10 couples 32, 42, 52, 62, 43, 53, 63, 54, 64, 65 permettent de continuer. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 2)=\frac{10}{6^2}[/tex]

Sur ces 10 couples, il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 3 lancers.
Il reste les 10 triplets 432, 532, 632, 543, 542, 643, 642, 654, 653, 652. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 3)=\frac{10}{6^3}[/tex]

Sur ces 10 triplets, il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 4 lancers.
Il reste les 5 quadruplets 5432, 6432, 6543, 6542, 6532. Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 4)=\frac{5}{6^4}[/tex]

Sur ces 5 quadruplets , il faut regarder ceux qui peuvent aller au-delà de 5 lancers.
Il reste le 5-uplet 65432.  Donc [tex]\Pr(X_6 \gt 5)=\frac{1}{6^5}[/tex] ce qui était prévisible (sauf que je dois changer un terme dans un post précédent)

Ensuite, on déduit la loi de probabilité comme suit :  [tex] \Pr(X_6 = k+1) = \Pr(X_6 \gt k) - \Pr(X_6 \gt k+1)[/tex]

Reste à trouver la bonne formule de calcul des k-uplets pris parmi n qui peuvent passer aller au delà du lancer n° (k+1)  pour résoudre la première partie cet exo.

totomm

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Re : Espérance

Bonjour,

Oui, je me suis un peu précipité entre = et > et les i : A REVOIR

@ freddy : C'est ce matin que je me suis précipité, sur ton intervention (j'avais plusieurs occupations en cours que je devais terminer...)
mais je me suis rassuré ensuite alors que je marchais vers un magasin...!

si le i de mes formules est "juste après le i-ème lancer, mes formules sont bonnes !
et par exemple pour n=4 : [tex]\Pr(X_n \gt 2) = \Pr(X_n = 3) +\Pr(X_n = 4) +\Pr(X_n = 5) [/tex]
car si après le n-ème lancer on la seule suite possible n(n-1)...21 on effectue un (n+1)-ème lancer...même sachant qu'il sera le dernier !

Les probabilités à trouver sont celles d'un tableau qui est connu :
n = 2 : 1  2  1  0
n = 3 : 1  3  3  1  0
n = 4 : 1  4  6  4  1  0
n = 5 : 1  5 10 10 5  1  0
n = 6 : 1  6 15 20 15 6  1  0
...

A+, l'expression analytique n'est pas loin.

Dernière modification par totomm (12-11-2014 14:29:46)