Forum de mathématiques - Bibm@th.net

shikamaru

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la dérivation d'une fonction

Bonjour,

Comment démontrer que f(x) est dérivable sur un intervalle [a,b[ ?

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MERCI

Dernière modification par yoshi (06-11-2014 08:03:59)

Fred

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Re : la dérivation d'une fonction

Bonjour,

  Si tu ne nous donnes pas un exemple, cela va être difficile de te répondre.....

Fred.

Legendre

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Re : la dérivation d'une fonction

Salut,

Pour montrer qu'une fonction f réelle est dérivable sur [tex][a,b[[/tex], tu dois montrer qu'elle est dérivable en chaque point de cet intervalle, mathématiquement ça s'énonce comme suit :

[tex]\forall c \in [a,b[, \hspace{0.5cm} \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \in \mathbb{R} [/tex]

freddy

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Re : la dérivation d'une fonction

Salut,

Pour montrer qu'une fonction f réelle est dérivable sur [tex][a,b[[/tex], tu dois montrer qu'elle est dérivable en chaque point de cet intervalle, mathématiquement ça s'énonce comme suit :

[tex]\forall c \in [a,b[, \hspace{0.5cm} \lim_{x \to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \in \mathbb{R} [/tex]

Houla, d'abord, tu dois vérifier qu'elle est bien définie sur ce segment demi-ouvert à droite, puis continue sur son domaine de définition, puis appliquer la définition de la dérivabilité en tout point, qui indique que la limite existe bien. On a une foule de théorème pour aller plus vite en général, du genre fonction dérivable comme somme, produit et/ou composée de fonctions dérivables ...
La dérivabilité implique la continuité (préalable), tandis que la continuité est une condition nécessaire mais non suffisante de la dérivabilité.

Est-ce une explication suffisante ? Sinon, comme dit Fred, sois plus précis.

shikamaru

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Re : la dérivation d'une fonction

bonjour,
par exemple on veut savoir si une fonction f (n'importe quelle fonction !!! ) est dérivable sur [0,99[
est ce qu'on va appliquer la règle sur 100 points!! logiquement il suffit que f' soit définie en [0,99[
certainement il y a une autre méthode ! que pensez vous ?

freddy

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Re : la dérivation d'une fonction

bonjour,
par exemple on veut savoir si une fonction f (n'importe quelle fonction !!! ) est dérivable sur [0,99[
est ce qu'on va appliquer la règle sur 100 points!! logiquement il suffit que f' soit définie en [0,99[
certainement il y a une autre méthode ! que pensez vous ?

Houla, 100 points seulement, t'es sûr ? Ensuite, tu penses pouvoir démontrer qu'une fonction est dérivable en montrant que sa dérivée (dont tu ne sais pas si elle existe) est définie sur un segment quelconque ?
Que veux-tu savoir, au juste ? Quel est ton niveau en maths, précisément ?
Merci par avance de tes réponses.

shikamaru

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Re : la dérivation d'une fonction

100 points si x appartient a N =)
une fonction est dérivable en x₀  implique que sa dérivée est défini en x₀ ! donc pour savoir si f est dérivable sur [0,99[ il faut juste que la dérivé f' (on suppose qu'il existe déjà) soit défini en [0.99[ , c'est ma propre idée et je vous demande si elle est juste ou no, si non je cherche une autre méthode pour  qu'une fonction dérivable sur un segment sans appliquer la règle 100 fois =) , c'est tout ce que je ve savoir.
mon niveau est moyen

Choukos

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Re : la dérivation d'une fonction

Salut,
Je pense que freddy te demandais plutôt à quel niveau d'études tu es / ta fillière.

Ça a un sens de dire que f est dérivable aux points {0,1,...,99}, par contre étudier f sur ces seuls points ne permet pas  de savoir si la fonction f est dérivable sur tout l'intervalle [0,99[ !!
En effet, tu ferais comment pour déduire de l'étude de ces 100 points si tu es dérivable au point 21,27382719471284921894 ou pas ?

Pour savoir si f est dérivable sur tout l'intervalle, on ne calcule pas en des points particuliers, on fait un raisonnement abstrait qui englobe immédiatement tous les cas possibles :
Tu prends un x quelconque de ton intervalle, tu ne l'explicite surtout pas, et tu regardes si le quotient dans la formule rappelée par Legendre converge et si oui, alors tu pourras dire que f sera dérivable sur tout l'intervalle !
Tu n'as rien dit sur x de particulier, il est quelconque dans [0,99[.

Avec ce raisonnement tu peux répondre à ma question, pas avec le tiens.

Mais si ta question c'était juste de savoir si tu es dérivable en ces 100 points, alors je te recommande quand même de faire cette méthode (un seul calcul abstrait, puis tu diras, oh en particulier c'est vrai pour mes 100 points) plutôt que un calcul pour chacun de ces points (100 calculs).

Dernière modification par Choukos (07-11-2014 21:41:57)

shikamaru

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Re : la dérivation d'une fonction

Merci Choukos, maintenant j'ai bien compris.
une dernière demande s'il te plait, peut tu spécifier l'erreur dans mon raisonnement !!!

100 points si x appartient a N =)
une fonction est dérivable en x₀  implique que sa dérivée est défini en x₀ ! donc pour savoir si f est dérivable sur [0,99[ il faut juste que la dérivé f' (on suppose qu'il existe déjà) soit défini en [0.99[

freddy

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Re : la dérivation d'une fonction

Re,

ce qui ne va  pas dans ton raisonnement est que tu veux savoir si une fonction est dérivable (donc a priori on ne sait pas si elle admet une dérivée) et tu supposes que sa dérivée existe (ce qui revient à dire que tu connais déjà la réponse à la question de départ) pour te prendre la tête sur l'existence de [tex]f'(x_0)[/tex]. Ça n'a en vérité strictement aucun sens et tu te prends les pieds dans le tapis.