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souhail

Invité

Aidez moi svp

Bonjour,

Je n'arrive pas à répondre à la question suivante en mathématiques du supérieur (cycle ingénieur) :

si une fonction U=U(x,y) est de classe C², alors trouvez la solution générale des équations :
***** [(d²U)/(dx.dy)] + dU/dx = 0
***** [(d²U)/(dx.dy)] + 2.dU/dy =2
Alors aidez moi SVP

Merci

Roro

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Re : Aidez moi svp

Bonsoir,

Qu'as-tu essayé pour la première ? Tu pourrais poser [tex]V=\frac{\partial U}{\partial x}[/tex] et voir ce que doit satisfaire [tex]V[/tex]...

Roro.

totomm

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Re : Aidez moi svp

Bonsoir,

grillé par Roro....je suggère quand même poser [tex]U(x,y) =u(x)e^{-y}[/tex] et ça va tout seul...

totomm

Membre

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Re : Aidez moi svp

Bonjour,

Retour sur U(x,y)
Il convient de poser plus complètement [tex]U(x,y) = ( r(x) + s(y) ) e^{-y}[/tex]
On obtient :
[tex]\frac{dU}{dx} =  r 'e^{-y}[/tex]    [tex]\frac{dU}{dy} =  ( -r –s  +s' ) e^{-y}[/tex]   [tex]\frac{d^2U}{dxdy} =  - r 'e^{-y}[/tex]

on vérifie [tex]\frac{d^2U}{dxdy} + \frac{dU}{dx} =0[/tex]

et on obtient [tex]\frac{d^2U}{dxdy} + 2\frac{dU}{dy} = ( -r' -2r –2s  +2s' ) e^{-y}=2[/tex]
qui définissent séparément :
[tex]r'+2r=0[/tex] ne dépendant que de x
[tex]s' –s =e^y[/tex] ne dépendant que de y
d'où la solution générale : [tex]U(x,y) =ae^{-2x-y}+y+b[/tex]     a et b étant des constantes réelles.

Vérification :
[tex]\frac{dU}{dx} =  -2ae^{-2x-y}[/tex]    [tex]\frac{dU}{dy} =  -ae^{-2x-y}+1[/tex]   [tex]\frac{d^2U}{dxdy} =  2ae^{-2x-y}[/tex]