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mimod

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Somme aléatoire de lois de Poisson indépendantes.

Bonsoir,

On considère une suite de lois de Poisson  indépendantes de paramètre μ et on se propose de calculer la loi de [tex]S=\sum^{N}_{n=1}{X}_{n}[/tex], N est une variable géométrique : [tex]P\left(N=n\right)={p}^{n-1}\left(1-p\right)[/tex] pour n un entier non nul.
[tex]P\left(S=s\right)=\sum^{+\infty}_{n=1}P\left(S=s,N=n\right)=\sum^{+\infty}_{n=1}P\left(S=s/N=n\right)P\left(N=n\right)[/tex]
Donc [tex]P\left(S=s\right)=\sum^{+\infty}_{n=1}{e}^{-n\mu}\frac{{\left(n\mu \right)}^{s}}{s!}{p}^{n-1}\left(1-p\right)=\frac{{\left(1-p\right)\mu }^{s}}{ps!}\sum^{+\infty}_{n=1}{e}^{-n\mu}{p}^{n}{n}^{s}[/tex]
Malheureusement, je ne vois pas d’issues possibles pour le calcul de la loi de s, notamment la présence de pⁿn^s dans la sommation.
Merci de bien vouloir m’aider dans le calcul de la loi de S.

Fred

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Re : Somme aléatoire de lois de Poisson indépendantes.

Salut,

  Tu as une somme de la forme
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}x^n n^s[/tex] avec [tex]x=e^{-\mu}p[/tex].
Tu sais sommer ce type de série quand s=0, c'est une série géométrique. Pour s plus grand, la méthode est classique, il faut dériver....

Fred.