Nombres complexes,résolution d'équations.

Joan94 · 02-11-2014 19:30:33

Bonjour,j'ai tâcher de résoudre un exercice sur les nombres complexes.
Et j'aurais voulu que l'on me dise si ce que j'ai fais est bon,ou qu'on m'explique ce qui n'est pas bon.
PS:je n'ai rien trouvé pour la question a).

Voici donc cet exercice:
Etant donné un nombre complexe,on pose :
f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i.
a) Montrer que l'équation f(z)=0 a une racine imaginaire pure que l'on déterminera.
b)factorisez f(z),puis résoudre dans C(ensemble des nombres complexes) l'équation f(z)=0.

a) D'habitude j'ai surtout du mal avec les dernière questions ^^...
b)Ensuite,la factorisation du f(z) donne:

f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i=z(z²-16z+iz+16i+89+(89/z)).
Puis,on sait que f(z)=0 implique que soit z=0,soit (z²-16z+iz+16i+89+(89/z))=0, dans le premier cas,je pense que z ne peut pas être égale à 0 car ça voudrait dire que (89/z)= 89/0,or on ne peut pas diviser par 0 en maths.
Mais nous nous attarderont sur le second cas en disant que z²-16z+iz+16i+89+(89/z) implique que soit iz+16i=0,donc que z=-16.
Ou soit z²-16z+89+(89/z)=0.

Mais c'est une équation du second degré,donc le discriminant D=b²-4ac,avec b=-16+1 "-16 devant z et le 1 vient de 1*89/z=89*1/z=89/z."
Donc D=(-15)²-4*1*89=-131<0.
Donc l n'y a pas de solutions dans R,mais il y en a dans C.
Par conséquent,les solutions sont:

x1= (15+ racine(131))/2 et x2=(15-racine(131))/2 sauf erreur.

freddy · 02-11-2014 20:23:03

Salut,

pour le a), on te dit que f(z)=0 admet une solution de la forme [tex]z_0= \alpha\times \mathcal{i}[/tex]
Y a plus qu'à calculer [tex]f(z_0)[/tex] pour trouver la valeur de [tex]\alpha[/tex] !

b) ta factorisation est une hérésie. Tu la feras quand tu auras trouvé [tex]z_0[/tex]

Joan94 · 02-11-2014 21:13:26

freddy a écrit :

Salut,
pour le a), on te dit que f(z)=0 admet une solution de la forme [tex]z_0= \alpha\times \mathcal{i}[/tex]
Y a plus qu'à calculer [tex]f(z_0)[/tex] pour trouver la valeur de [tex]\alpha[/tex] !
b) ta factorisation est une hérésie. Tu la feras quand tu auras trouvé [tex]z_0[/tex]

Quand tu dit"z0=α×i " j'imagine que c'est du cours.
Abon,je ne pensais pas que c'étais une hérésie,j'ai du mal factorisé parce que dans l'énoncé,il demande vraiment de factorisé.
Mai s je vais trouvez la valeur de alpha,cependant si j'ai du mal,je te poserai une question si tu peux ou veux répondre,mais ça sera probablement demain vu qu'il est tard dans ton pays.

yoshi · 02-11-2014 21:51:56

Re,

Quand tu dit"z0=α×i " j'imagine que c'est du cours.

Pas du tout ! C'est l'énoncé qui te le dit.
Je cite :

a) Montrer que l'équation f(z)=0 a une racine imaginaire pure que l'on déterminera.

Un imaginaire pur est un complexe dont la partie réelle est nulle et ça, c'est du cours...
Conclusion : freddy a raison !

@+

freddy · 03-11-2014 05:38:59

Salut,

pendant que tu dors, je passe un petit coup de Latex !

Joan94 a écrit :

Etant donné un nombre complexe [tex]z[/tex],on pose :
[tex]f(z)=z^3-(16-i)z^2+(89-16i)z+89i[/tex].
a) Montrer que l'équation [tex]f(z)=0[/tex] a une racine imaginaire pure que l'on déterminera.
b) factorisez [tex]f(z)[/tex], puis résoudre dans [tex]\mathbb{C}[/tex] l'équation [tex]f(z)=0[/tex].
a) ....
b) Ensuite,la factorisation du f(z) donne :
[tex] f(z)=z^3-(16-i)z^2+(89-16i)z+89i=z(z^2-16z+iz+16i+89+\frac{89}{z})[/tex]

C'est ça, l'hérésie.
Factoriser l'expression doit te conduire à trouver [tex]f(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)[/tex] avec [tex]z_0[/tex] réponse à la question a). Ensuite seulement, tu trouveras les deux autres racines.

A te lire !

A tutti : je ne suis pas certain de pouvoir suivre ce fil, donc tout le monde peut aider ce "charmant" jeune homme qui vit à quelques fuseaux horaires de la France ... :-)

totomm · 03-11-2014 09:22:03

Bonjour,
J'assurerai une suite si yoshi n'est pas non plus disponible, et si Joan94 en a encore besoin.

yoshi · 03-11-2014 09:40:56

RE,

Assurez, assurez, je risque d'être occupé et moins disponible qu'avant...

@+

Joan94 · 03-11-2014 18:07:47

freddy a écrit :

Salut,
pendant que tu dors, je passe un petit coup de Latex !
Joan94 a écrit :
Etant donné un nombre complexe [tex]z[/tex],on pose :
[tex]f(z)=z^3-(16-i)z^2+(89-16i)z+89i[/tex].
a) Montrer que l'équation [tex]f(z)=0[/tex] a une racine imaginaire pure que l'on déterminera.
b) factorisez [tex]f(z)[/tex], puis résoudre dans [tex]\mathbb{C}[/tex] l'équation [tex]f(z)=0[/tex].
a) ....
b) Ensuite,la factorisation du f(z) donne :
[tex] f(z)=z^3-(16-i)z^2+(89-16i)z+89i=z(z^2-16z+iz+16i+89+\frac{89}{z})[/tex]
C'est ça, l'hérésie.
Factoriser l'expression doit te conduire à trouver [tex]f(z)=(z-z_0)(az^2+bz+c)[/tex] avec [tex]z_0[/tex] réponse à la question a). Ensuite seulement, tu trouveras les deux autres racines.
A te lire !
A tutti : je ne suis pas certain de pouvoir suivre ce fil, donc tout le monde peut aider ce "charmant" jeune homme qui vit à quelques fuseaux horaires de la France ... :-)

J'ai oublier de te remercier freddy,donc merci, et effectivement je ne connais pas totalement le cours,et c'était bien dit dans l'énoncé même si ce n'étai pas écrit,il fallait,le comprendre,mais je suis réellement charmant.
Je reviendrais poser des questions sur cette discussion plus tard si quelqu'un peu me répondre :)

totomm · 03-11-2014 18:43:43

Bonsoir,

Inutile de se vexer,
Comment feriez-vous pour vérifier que, par exemple, 1 est une racine de [tex]x^3-5x^2+8x-4[/tex] ?

yoshi · 03-11-2014 19:30:33

RE,

Je reviendrais poser des questions sur cette discussion plus tard si quelqu'un peu me répondre :)

Voilà une formulation désobligeante : freddy vous a fait une réponse en 2 points :
1.

freddy a écrit :

pour le a), on te dit que f(z)=0 admet une solution de la forme [tex]z_0=\alpha i[/tex]
Y a plus qu'à calculer[tex] f(z_0)[/tex] pour trouver la valeur de α !

2.

freddy a écrit :

Factoriser l'expression doit te conduire à trouver [tex]f(z)=(z−z_0)(az^2+bz+c)[/tex] avec [tex]z_0[/tex] réponse à la question a).
Ensuite seulement, tu trouveras les deux autres racines.

totomm vous a dit comment attaquer le processus ;
Comment feriez-vous pour vérifier que, par exemple, 1 est une racine de [tex]x^3−5x^2+8x−4 ?[/tex]

Donc, ce mouvement d'humeur est injuste : vous avez déjà largement de quoi vous occuper pour revenir en vous écriant "Eureka !" et attaquer la suite...

Abandonnez votre posture de victime ^_^, revenez et vous aurez toute l'aide qu'il faut comme tout le monde (ou presque), pas plus (ni moins) qu'avant.

@+

Yoshi
- Modérateur -

Joan94 · 05-11-2014 11:26:51

totomm a écrit :

Bonsoir,
Inutile de se vexer,
Comment feriez-vous pour vérifier que, par exemple, 1 est une racine de [tex]x^3-5x^2+8x-4[/tex] ?

Bon ok,j'arrête de me vexer,et bien je remplacerai les x par 1 et si ça donne 0 alors 1 est une racine :)

totomm · 05-11-2014 11:43:17

Bonjour,

C'est très bien d'être revenu, c'est sympathique ...

Et bien si [tex]\alpha i[/tex] est racine de [tex]f(z)=z^3−(16−i)z^2+(89−16i)z+89i[/tex], il faut remplacer z par [tex]\alpha i[/tex].
mais en regroupant toue les termes sans i (partie réelle) et tous les termes avec i (partie imaginaire)
en se rappelant bien que [tex]\alpha[/tex] est un nombre réel et que[tex] i^2=-1\ et\ i^3=-i[/tex].

Ensuite on cherche quelle valeur de [tex]\alpha[/tex] annule simultanément partie réelle et partie imaginaire pour avoir [tex]f(\alpha i)=0+0i[/tex]

Bonne suite si vous n'avez pas encore fait...On répondra.

Dernière modification par totomm (05-11-2014 11:45:59)

Joan94 · 05-11-2014 12:29:39

yoshi a écrit :

RE,
Je reviendrais poser des questions sur cette discussion plus tard si quelqu'un peu me répondre :)
Voilà une formulation désobligeante : freddy vous a fait une réponse en 2 points :
1.
freddy a écrit :
pour le a), on te dit que f(z)=0 admet une solution de la forme [tex]z_0=\alpha i[/tex]
Y a plus qu'à calculer[tex] f(z_0)[/tex] pour trouver la valeur de α !
2.
freddy a écrit :
Factoriser l'expression doit te conduire à trouver [tex]f(z)=(z−z_0)(az^2+bz+c)[/tex] avec [tex]z_0[/tex] réponse à la question a).
Ensuite seulement, tu trouveras les deux autres racines.
totomm vous a dit comment attaquer le processus ;
Comment feriez-vous pour vérifier que, par exemple, 1 est une racine de [tex]x^3−5x^2+8x−4 ?[/tex]
Donc, ce mouvement d'humeur est injuste : vous avez déjà largement de quoi vous occuper pour revenir en vous écriant "Eureka !" et attaquer la suite...
Abandonnez votre posture de victime ^_^, revenez et vous aurez toute l'aide qu'il faut comme tout le monde (ou presque), pas plus (ni moins) qu'avant.
@+
Yoshi
- Modérateur -

Bon ok j'arrête de me victimiser ^^.
Mais à part cela,j'ai refais la question a),ce qui donne:

f(z)=0=>f(iy)=0 donc f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i=0=>f(iy)=(iy)^3-(16-i)(iy)²+(89-16i)(iy)+89i=0
Ce qui implique que f(iy)= i^3*y^3-16i²y²+i^3*y²+89iy-16i²y+89i=-i*y^3+16y²+iy^3+89iy+16y+89i=0 =>16y²+16y+89i+89iy=0
Donc on a: {16y²+16y=0
{89+89y=0

La première équation donne devient 16y(y+1)=0 qui donne y=0 ou y=-1.
La seconde équation quand à elle donne 89y+89=0=>y=-1.
Donc -1 est la solution car il vérifie les deux équations.
Et la seule racine évidente(si c'est la seule) c'est -i.
Ensuite freddy à écrit"f(z)=(z−z0)(az2+bz+c)".
Mais même si je sait que le "c" c'est 89,et que z0 c'est -i,que dire du a et du b?
Selon l'énoncé a=-16+i et b=89-16i mais donc f(z) devrait être égale à (z+i)((-16+i)z^2)+(89-16i)z+89) .
Mais ça ne me semble pas bon,et j'ai utiliser une méthode de Horner pour factoriser mais ça ne pas aidé non plus:/
PS: Quand j'ai dit "Je reviendrais poser des questions sur cette discussion plus tard si quelqu'un peu me répondre :)" je ne voulais froissé personne,c'est que je n'avais pas tout compris dans vos explication même si je sais que vous expliquer bien,désolé.

totomm · 05-11-2014 13:52:49

Bonjour,

f(iy)=(iy)^3-(16-i)(iy)²+(89-16i)(iy)+89i
f(iy)= i^3*y^3-16i²y²+i^3*y²+89iy-16i²y+89i sont corrects

f(iy)= -i*y^3+16y²+iy^3+89iy+16y+89i doit être corrigé en
f(iy)= -i*y^3+16y² -iy² +89iy+16y+89i

f(iy)=16y²+16y+89i+89iy=0 est faux, il vient : f(iy)=(16y²+16y) +i ( -y^3 -y² +89y +89)
on vérifie alors que y = -1 annule bien les 2 parties réelle et imaginaire

Ensuite vous écrivez "Mais même si je sait que le "c" c'est 89,et que z0 c'est -i,que dire du a et du b?"
C'est bien raisonné, alors il faut développer:
(z+i)(az²+bz+89)= az^3 + bz² +89z +aiz² +biz+89i et ordonner
=az^3 + (b+ai)z² +(89+bi)z+89i qui doit être égal à z^3−(16−i)z² +(89−16i)z+89i

Vous devez trouver facilement a et b maintenant. Continuez, cela devient plus facile...
A+

Joan94 · 09-11-2014 20:31:57

totomm a écrit :

Bonjour,
f(iy)=(iy)^3-(16-i)(iy)²+(89-16i)(iy)+89i
f(iy)= i^3*y^3-16i²y²+i^3*y²+89iy-16i²y+89i sont corrects
f(iy)= -i*y^3+16y²+iy^3+89iy+16y+89i doit être corrigé en
f(iy)= -i*y^3+16y² -iy² +89iy+16y+89i
f(iy)=16y²+16y+89i+89iy=0 est faux, il vient : f(iy)=(16y²+16y) +i ( -y^3 -y² +89y +89)
on vérifie alors que y = -1 annule bien les 2 parties réelle et imaginaire
Ensuite vous écrivez "Mais même si je sait que le "c" c'est 89,et que z0 c'est -i,que dire du a et du b?"
C'est bien raisonné, alors il faut développer:
(z+i)(az²+bz+89)= az^3 + bz² +89z +aiz² +biz+89i et ordonner
=az^3 + (b+ai)z² +(89+bi)z+89i qui doit être égal à z^3−(16−i)z² +(89−16i)z+89i
Vous devez trouver facilement a et b maintenant. Continuez, cela devient plus facile...
A+

Bonjour totomn ,alors déja merci d'avoir corrigé mes erreurs,surtout que je fais parfois des erreurs de signes.
Ensuite J'ai bien vérifié que c'est égale à 0,et c'est bien le cas.
En effet 16*(-1)²+16=0 et -(-1)^3-(-1)²+89*(-1)+89=0.

Ensuite Pour trouver le a et le b,et bien il faudra procéder par identification.
Donc on peut déja voir que a=1 vu que on voit az^3 et z^3,on peut aussi utilisé "−(16−i)z²=(-16+i)z² et (b+ai)z².

Le b quand à lui est égale à -16,on s'en rend compte en regardant les expression que je vient d'écrire :).

Merci vraiment pour ton aide,mais tu sais je répond toujours au message même si je prend un peux de temps ^^,je trouve même que c'est un manque de respect de ne pas répondre aux messages des gens,et que c'est stupide de faire ça quand on a besoin d'aide...
Enfin bon,au revoir :)

totomm · 09-11-2014 21:02:30

Bonsoir,

Vous avez donc maintenant f(z)=(z+i)(z²-16z+89) avec z0 = -i comme première racine
Vous devez aussi afficher les racines z1 et z2 du trinôme (z²-16z+89)

c'est facile en remarquant qu 8²=64 et que 89-64=25=5², mais vous pouvez aussi utiliser la méthode du discriminant.
Bonne suite et fin.

Joan94 · 10-11-2014 14:57:23

Bonjour,
Alors,je préfère quand même faire avec le discriminant,donc avec le discriminant,on a Delta=(-16)²-4*1*89=256-356=-100<0

Donc il n'y a pas de solutions dans R,mais des solutions dans C oui.
On obtient donc x1= (16+i*racine de 100)/2=8+5i et x2=(16-i*racine de 100)/2=8-5i.
Merci.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-11-2014 19:30:33

Nombres complexes,résolution d'équations.

#2 02-11-2014 20:23:03

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#3 02-11-2014 21:13:26

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#4 02-11-2014 21:51:56

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#5 03-11-2014 05:38:59

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#6 03-11-2014 09:22:03

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#7 03-11-2014 09:40:56

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#8 03-11-2014 18:07:47

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#9 03-11-2014 18:43:43

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#10 03-11-2014 19:30:33

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#11 05-11-2014 11:26:51

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#12 05-11-2014 11:43:17

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#13 05-11-2014 12:29:39

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#14 05-11-2014 13:52:49

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#15 09-11-2014 20:31:57

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#16 09-11-2014 21:02:30

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

#17 10-11-2014 14:57:23

Re : Nombres complexes,résolution d'équations.

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