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Reus-42

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DM de 1ère S - Vecteurs

Bonjour, je dois rendre un DM pour la rentrée du 3 novembre,et pour tout vous dire je commence a bloquer dessus et répondre à la question posée.

Le sujet :
Dans un repère, on pose A(1;2) et P un point d'abscisses différentes de 1 sur l'axe des abscisses.
On note Q le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (AP). On construit I le milieu de [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à M.
Quelle semble être la trajectoire de A' quand le point P parcourt l'axe des abscisses ? Le démontrer.

Donc j'ai déjà trouver une sorte de marche à suivre sans en être certains:
1-Calculer l'équation (AP) avec P(a;0)
2-Calculer les coordonnées de Q et de I le milieu de [QP]
3-En supposant que le symétrique est par rapport à I, I est le milieu de [AA']

Voilà pourriez vous m'aider dans la réalisation de cette marche à suivre car je bloque.

Cordialement, Merci d'avance .

Fred

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonjour,

  D'abord, mon premier réflexe serait de dire que je vais prendre mon plus beau Geogebra et que je vais conjecturer ce qui se passe.
Ensuite, la marche à suivre que tu proposes me semble tout à fait bonne. Est-ce que tu sais calculer l'équation de (AP)???

Fred.

yoshi

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonsoir,

Ou je ne sais plus lire, ou l'énoncé est incorrect...
En effet :

Dans un repère, on pose A(1;2) et P un point d'abscisses différentes de 1 sur l'axe des abscisses.
On note Q le point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la droite (AP). On construit I le milieu de [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à M.

Qu'est donc ce point M ?
D'autant plus troublant que cet énoncé vient d'être posé ici :  http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 039#p48039 avec le même manque...

@+

Reus-42

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Oui Fred j'ai fait (AP)=xP-xA et yP-yA ce qui ma donner AP(x-1;2)

Et yoshi cet personne qui a poster le meme sujet doit être dans ma classe je présume ou une personne ayant le meme sujet que moi :)
Pour le point M, je en ai aucune idée je vais envoyer un message au prof pour plus de précision :)

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonsoir,

Ok ! Bizarre que ce point M manque... Comment prendre le symétrique de A par rapport à un point M dont on ne sait pas où il est ?
Peut-être que M c'est I en fait ?
j'ai fait (AP)=xP-xA et yP-yA : 
1. [tex](x_P-x_A\,;\,y_P-y_A)[/tex] sont les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AP}[/tex] pas l'équation de la droite (AP).
2. On t'a donné [tex]P(a\,;\,0)[/tex] donc, n'utilise pas x !
3. [tex]\overrightarrow{AP}(a-1;2)[/tex] est faux (ordonnée fausse).

@+

[EDIT]En prenant I à la place de M, ça marche...
Les calculs ne sont pas trop complexes, même s'il y en a un certain nombre et la courbe obtenue est de votre niveau.

Dernière modification par yoshi (23-10-2014 20:45:14)

mathieu

Invité

Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonsoir, je reprend la discution, le point M est le milieu de [A'A]. Pouvez vous plus nous aider sur ce sujet.

Merci d'avance

yoshi

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonjour,

je reprend la discussion, le point M est le milieu de [A'A].

Waouh ! Ça, c'est un scoop !
L'énoncé dit :  On construit I le milieu de [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à M.
Voilà où on en est :
A' le symétrique de A par rapport à M.
Moi, je demande : où est M ?
Réponse : c'est le milieu de [AA'].
Cela résulte de la définition de la symétrie centrale qu'on voit en 5e...
On dit qu'un point A' est le symétrique de d'un point A par rapport à un point M, si M est le milieu de [AA'].
Résumons-nous.
L'énoncé dit :  On construit A' le symétrique de A par rapport à M.
Bien. Où est M ?
C'est le milieu de [AA']
Ah...
Alors où est A' ?
C'est le symétrique de A par rapport à M...
Vous n'avez pas l'impression d'être revenus à votre point de départ ?
C'est le coup du chien qui se mord la queue. Ce que tu me dis n'apporte rien de plus, hélas donc !

Je prends M en I. Pourquoi ?
A cause de la formulation de l'énoncé :
On construit I le milieu de [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à M.
1. Sinon, on ne sert pas de I
2. A' suit immédiatement le construction de I.
Je vois bien ça comme ça :On construit I le milieu de [PQ] et A' le symétrique de A par rapport à I. Ainsi plus de souci avec le point M qui n'est pas encore défini au moment où il est cité...
Si ce n'est pas ça, alors où est le point M ? Sa définition ne peut dépendre de la position de A' puisque A' dépend de M...

Donc je fais le boulot avec A' symétrique de par rapport à I, et quand vous aurez le vrai renseignement, si j'ai tort, vous vous adapterez ou vous reviendrez...

Équation de la droite (AP).
Coefficient directeur :
[tex]m=\frac{0-2}{a-1}=-\frac{2}{a-1}[/tex]
J'écris que la droite passe par P (moins de calculs) :
[tex]y-0 = -\frac{2}{a-1}(x-a)[/tex]

Soit [tex]y= -\frac{2}{a-1}x+\frac{2a}{a-1}[/tex]  voilà déjà le pourquoi de la précision donnée :  [tex]a \neq 1[/tex]
Coordonnées de Q.
Abscisse 0
donc [tex]y =\frac{2a}{a-1}[/tex] 
Q[tex]\left(0\,;\,\frac{2a}{a-1}\right)[/tex]

Coordonnées de I milieu de [PQ]
[tex]\begin{cases}x_I=\frac a 2\\y_I=\frac{a}{a-1}\end{cases}[/tex]
Jusque là, je ne me suis pas servi de M.

Maintenant je vais dire M c'est I...
A partir de là selon où est vraiment M, cela risque de devoir être adapté.
On a donc
[tex]\begin{cases}x_I=\frac{x_A+ x_{A'}}{2}\\y_I=\frac{y_A+ y_{A'}}{2}\end{cases}[/tex]
D'où
[tex] \begin{cases}x_A+x_{A'}=2x_I \\y_A+y_{A'}=2y_I\end{cases}[/tex]
Et enfin :
[tex]\begin{cases}x_{A'}=2x_I -x_A\\x_{A'}=2y_I-y_A\end{cases}[/tex]
C'est plus facile à calculer comme ça...
D'où
[tex]x_{A'}=2\times \frac a 2-1=a-1[/tex]
et
[tex] y_{A'}=\frac{2a}{a-1}-2=\frac{2a-2(a-1)}{a-1}=\frac{2}{a-1}[/tex]
Donc
[tex]A'\left(a-1;\frac{2}{a-1}\right)[/tex]
Avec Geogebra, A' semble se déplacer sur une fonction hyperbole...
Calculs.
On pose [tex]x = a-1[/tex] soit [tex]a = x+1[/tex]
[tex]y=\frac{2}{a-1}[/tex] on remplace a par x+1 :
[tex]y=\frac 2 x[/tex]
Le point A' se déplace sur la courbe d'équation [tex]y=\frac 2 x[/tex]

Autre chose qui m'embête, l'intitulé du sujet : DM sur les vecteurs. Où ça des vecteurs ?
Equation de (AP) via les vecteurs
[tex]\overrightarrow{AP}(a-1\,;\,-2)[/tex]
Soit[tex] L(x\,;\,y)[/tex] un point quelconque de (AP)
[tex]\overrightarrow{AL}(x-1\,;\,y-2)[/tex]
J'écris que [tex]\overrightarrow{AP}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AL}[/tex] sont colinéaires :
[tex]-2(x-1)-(y-2)(a-1)=0[/tex] et on retombe sur nos pieds...

Coordonnées de [tex]A'(x\,;\,y)[/tex] via les vecteurs :
[tex]\overrightarrow{AA'}=2\overrightarrow{AI}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AI}\left(\frac a 2 -1\,;\;\frac{a}{a-1}-2\right)[/tex]
Et on résout les 2 équations :
[tex]\begin{cases}x-1&=2\left(\frac a 2 -1\right)\\y-2&=2\left(\frac{a}{a-1}-2\right)\end{cases}[/tex]

@+

totomm

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonsoir,

Maintenant que M ou I sont bien tous deux le milieu de [AA'], on peut faire un peu de géométrie (même si elle n'est plus aux programmes des lycées)
sans minimiser la puissance de l’analyse.

Si a est l'abscisse de P et si [tex]H_A\ et\ H_{A' }[/tex] sont les pieds des perpendiculaires abaissées depuis A et A' sur l'axe des abscisses
on a, par construction [tex]H_AP=a-1\ et\ H_{A'}P=1[/tex] par la symétrie de centre M (ou I)
En considérant les deux triangles [tex]PAH_A\ et\ PA'H_{A'}[/tex], on a immédiatement par Thalès : [tex]\frac{2}{a-1}=\frac{H_{A'}A'}{1}[/tex]
comme [tex]OH_{A'}=a-1[/tex] est l'abscisse de A' on a la courbe [tex]y=\frac{2}{x}[/tex]  comme lieu de A' sans avoir calculé l'équation de la droite (PQ).

yoshi

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonsoir,

Clap ! Clap ! Voilà qui me rappelle nerosson, mais lui, son dada, c'était l'Arithmétique...
J'aurais pu faire simple et dire : j'ai posé [tex]x=a-1[/tex] or, [tex]y=\frac{2}{a-1}[/tex] je remplace le a-1 du dénominateur par x et voilà...
Pourquoi ne l'ai-je pas fait ? Parce que je vois pointer le bout du nez du prof qui a voulu, avec un exemple simple, montrer un type de "substitution" qui ne sera pas toujours aussi "évidente" dans la recherche d'un lieu.
Je me suis donc astreint à être didactique en exprimant a en fonction de x, alors qu'il y avait plus direct.

@+

totomm

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Bonjour,

Un éclairage un peu différent peut être profitable aux élèves et étudiants, sans que quiconque doive penser être contesté, car ce n'est vraiment pas le cas.
Vous avez suivi la "marche à suivre" proposée en #1 par Reus-42 (et validée par Fred), c'est bien.
Démonstration et explications terminées, je montre une autre façon... Est-ce gênant ou peut-être bénéfique ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM de 1ère S - Vecteurs

Re,

Je n'ai émis aucun jugement, j'ai simplement pensé à nerosson...

Démonstration et explications terminées, je montre une autre façon... Est-ce gênant ou peut-être bénéfique ?

Démonstration et explications terminées, je n'émets, je le répète, aucun jugement, vous faites ce que vous jugez bon...
J'ai voulu, en ce qui me concerne expliquer pourquoi j'ai tenu à passer de x = a-1  à a=x+1 alors que c'était "inutile"...

@+