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Blis3

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Evénement et probabiltiés

bonjour à tous, j'aimerais avoir de l'aide pour ce problème :

On considère une unité de temps et les dates 0,1,2... A la date k, un événement A peut se produire ou non. On sait que si A se produit à l'instant k, la probabilité qu'il se produise à l'instant k+1 est a et que si A ne se produit pas à l'instant k la probabilité qu'il ne se produise pas à l'instant k+1 est b. On suppose que A a une chance sur 2 de se produire à l'instant 0  et on note A_n: "A se produit à l'instat n".
a) Démontrer pour tout k de N, P(A_(k+1))=(a+b-1)P(A_k)+(1-b)
b) Déterminer la probabilité que A se produise à l'instant n.

j'ai fait :

on a :
on pose B= événement contraire de A
P(A_(k+1)/A_k))=a et P(B_(k+1)/B_k))=b et P(A_0)=1/2.

mais je ne vois pas du tout comment trouver la forme générale

merci de m'y aider

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

Salut,

  Tu devrais utiliser la formule des probabilités totales.
En effet, tu as alors
[tex]P(A)=P(A_{k+1}|A_k)+P(A_{k+1}|B_k)[/tex]
et les deux probabilités qu'il y a à droite, la première, tu l'as écrit, et la seconde, par passage au complémentaire!

Fred.

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

salut et merci de me répondre :
mais vous n'auriez pas ooublié des termes dans votre développement de P(A) ?

[tex]P(A)=P(A_k+1/A_k)P(A_k)+P(A_k+1/B_k)P(B_k)=a+(1-b)[/tex]

bof j'ai du faire une erreur !

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

Bouf... J'ai fait plein d'erreurs! Il fallait lire :
[tex]P(A_{k+1})=P(A_{k+1}|A_k)P(A_k)+P(A_{k+1}|B_k)P(B_k)[/tex]
ce qui va te conduire facilement au résultat si tu écris correctement les différentes probabilités.....
par exemple, [tex]P(B_k)=1-P(A_k)[/tex]....

Pour la deuxième question, connais-tu les suites arithmético-géométriques???

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

[tex]P(A_(k+1))=P(A_(k+1)/A_k)+P(A_(k+1)/(1-A_k))(1-P(A_k)[/tex]

mais le problème ici c'est que je ne connais pas la probabilité de P(A_k) mais seulement celle de P(A_(k+1))...

b) oui je connais mais ce dois je garder les coeff et écrire L=(a+b-1)L+b-1 ?

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

Ouh là, je pense que tu es très fatigué!!!
Que signifie [tex]P(A_{k+1}|(1-A_k)[/tex]?????
C'est [tex]P(B_k)[/tex] qui vaut [tex]1-P(A_k)[/tex], ça ne veut rien dire d'écrire [tex]B_k=1-A_k[/tex], équation
où tu ajoutes des ensembles et des réels....
C'est quoi l'événement contraire de [tex]A_{k+1}|B_k[/tex]???

Pour la deuxième question, vue comme elle est formulée, je pense qu'effectivement tu dois garder les coefficients.

Fred.

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Re : Evénement et probabiltiés

ok...l'événement contraire de [tex]A_(k+1)/B_k[/tex] c'est [tex]A_(k+1)/A_k[/tex] ?

freddy

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Re : Evénement et probabiltiés

Salut,

j'emboîte le pas.

[tex]P(A_{k+1})=P(A_{k+1}|A_k)\times P(A_k)+P(A_{k+1}|\overline A_k)\times P(\overline A_k)=a\times P(A_k)+(1-b)\times \left(1-P(A_k)\right) [/tex]
puisque [tex]P(A_{k+1}|\overline A_k)=1-P(\overline A_{k+1}|\overline A_k)[/tex], ce que Fred voulait que tu vois.

Remarque : il est souvent plus judicieux de noter le contraire de A par [tex]\overline A[/tex], ce qui maintient une certaine cohérence dans les notations et permet de mieux suivre la pensée.

Tu peux continuer ... :-)

PS : désolé Fred, je pensais que tu dormais déjà :-) Du coup, j'adapte mes notations.

Dernière modification par freddy (29-10-2014 09:10:25)

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

d'accord merci (mon cerveau commence à être fatigué ^^)

donc : [tex]P(A_(k+1/A_k))=P(A_(k+1)/A_k)*P(A_k)+1-P(B_(k+1)/B_k)P(B_k)=a*P(A_k)+(1-b)P(B_k)[/tex]
et c'est encore ici que je bloque ...

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

Pourquoi tu bloquerais???? Que vaut [tex]P(B_k)[/tex] en fonction de [tex]P(A_k)[/tex]?????
Il me semblait que tu l'avais déjà écrit pourtant!!!

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

car P(A_k) ne me  parait pas évident

pour votre roba elle vaut 1-b normalement

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

[tex]P(A_k)[/tex] n'est pas évident car c'est ce qu'on te demande de calculer!!!
Et dans la question a), tu dois de toute façon exprimer [tex]P(A_{k+1})[/tex] en fonction de [tex]P(A_k)[/tex].

On n'a pas [tex]P(B_k)=1-b[/tex]. On a [tex]B_k=\overline{A_k}[/tex] donc....

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

donc ici [tex]P(B_k)=1-P(A_k)[/tex]

donc comme on ne connait pas [tex]P(A_k)[/tex] est ce possibile d'utiliser la formule des probabilités composées ou la formule de Bayes?

Fred

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Re : Evénement et probabiltiés

Tu n'as pas besoin de connaitre [tex]P(A_k)[/tex] pour répondre à la première question!!!!

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

ah oui c'est vrai désolé

donc =[tex]a*P(A_k)+(1-b)(1-P(A_k))=(a-1+b)P(A_k)+(1-b)[/tex]

Blis3

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Re : Evénement et probabiltiés

j'ai finalement tout réussi à trouver