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Hallouwen

Invité

Le sinus en Analyse Complexe.

Salut,

Je suis une quiche en analyse complexe, néanmoins, j'aimerais comprendre clairement la chose suivante :
Si on prend la fonction sinus sur le plan complexe à valeurs complexes : [tex]\mathrm{sin} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex], on me dit souvent que cette fonction, comme le cosinus aussi ( je ne sais pas si c'est aussi pour le tangent ) n'admet pas un inverse globale à droite, mais des inverses locaux à droite. Autrement dit, Il n'existe aucun [tex]f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] sur tout le corps complexe tel que : [tex]\mathrm{sin} \circ f = \mathrm{id}[/tex], mais simplement une suite de fonctions sur des domaines [tex]D_n[/tex] : [tex]f_n : D_n \to \mathbb{C}[/tex] tel que : [tex]\mathrm{sin} \circ f_n = \mathrm{id}[/tex]. Pourriez vous m'expliquer clairement quels sont ces [tex]f_n [/tex] et ces [tex]D_n[/tex] ? Pouvez vous me proposer une simple démonstration qui illustre ce fait ? Et pourquoi les [tex]f_n[/tex] ne se recollent pas sur les [tex]D_n[/tex] pour donner un présumé [tex]f [/tex]?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 352

Re : Le sinus en Analyse Complexe.

Bonjour,

  Je ne suis pas d'accord avec toi. La fonction sinus admet un inverse à droite parce qu'elle est surjective.
Prends n'importe quel [tex]z\in \mathbb C[/tex]. Alors [tex]\exists w\in \mathbb C,\ \sin(w)=z[/tex].
Maintenant tu as [tex]\sin(f(z))=\sin(w)=z.[/tex]

Ce n'est pas pareil si tu cherches un inverse à gauche (il n'en existe pas car la fonction sinus n'est pas injective), ou alors que tu veux des propriétés de régularité sur [tex]f[/tex] (par exemple, qu'elle soit holomorphe). Par exemple, tu dois forcément avoir [tex]f(1)=\frac\pi2+2k\pi[/tex]. Si [tex]f[/tex] était dérivable, de l'équation [tex]\sin(f(z))=z[/tex] on tirerait en dérivant
[tex]f'(z)\cos(f(z))=1[/tex]. En z=1, cela donnerait [tex]f'(1)\cos(f(1))=1[/tex] alors que [tex]f'(1)\cos(f(1))=0[/tex]...

Fred.

Hallouwen

Invité

Re : Le sinus en Analyse Complexe.

Bonjour,

D'accord, merci, même si je n'ai pas bien compris grand chose.
Pourquoi on dit que : [tex] \mathrm{sin} : \mathbb{C} \to \mathbb{C} [/tex] est un revêtement ? Par exemple, dans le Forster, le sinus complexe est un revêtement surjection qui admet des sections locales et non globales. Pourriez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance.