Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Legendre

Membre

Inscription : 02-07-2014

Messages : 72

Développement asymptotique

Salut,

Je bloque sur deux exercices :

- Soit [tex]A=
   \left (
   \begin{array}{cccc}
      1 & 0 & \cdots & 1 \\
      1 & \ddots & & \vdots \\
      \vdots & & \ddots & 0\\
      1 & \cdots & 1 & 1 \\
   \end{array}
   \right )
[/tex].

1) Montrer que [tex]P_{n}(x)=det(A-xI)=(-1)^n((x-1)^n-x^{n-2})[/tex].
2) Montrer que [tex]P_{n}[/tex] possède une unique racine strictement supérieure à 1, notée [tex]\lambda_{n}[/tex].
3) Montrer que [tex]\lambda_{n} \sim \frac{n}{2ln(n)}[/tex]

- Montrer que l'équation [tex]x^{2n+1}-x^n-1=0[/tex] admet une unique solution [tex]x_{n}[/tex] comprise dans [tex][1,+\infty[[/tex]. Trouver un équivalent de [tex]1-x_{n}[/tex].

Pour le premier exercice, j'ai réussi la première question, pour la deuxième j'arrive à prouver l'existence par le théorème des valeurs intermédiaires mais pour l'unicité je suis bloqué.
Pour le dernier exercice je bloque à l'équivalent [tex]1-x_{n}[/tex].

Merci de votre aide!

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Développement asymptotique

Salut,

  Ils n'ont pas l'air facile tes exos...
Voici une suggestion au moins pour le 2) du premier exo.
Le calcul de [tex]P_n^{(n-1)}[/tex] est facile. Cette fonction s'annule en 1, et est positive ensuite.
Ensuite, je pense que tu peux démontrer par récurrence sur k que la fonction [tex]P_n^{(k)}[/tex]
est strictement décroissante sur un intervalle du type [tex] [1,a_k] [/tex], strictement croissante ensuite.
En particulier, comme [tex]P_n^{(k)}(1)<0[/tex] tu sais qu'il existe [tex]b_k\geq 1[/tex] tel que cette fonction est négative sur l'intervalle
[tex] [1,b_k] [/tex] et positive sur [tex] [b_k,+\infty[ [/tex].

Pour le 3) de ce même exercice, je pense qu'on peut procéder ainsi :
si [tex]a>1[/tex], alors prouve que pour tout n assez grand, alors
[tex]P_n\left(\frac{an}{2\ln n}\right)>0[/tex] alors que si [tex]a<1[/tex], toujours pour n assez grand,
[tex]P_n\left(\frac{an}{2\ln n}\right)<0[/tex].

Fred.