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htina

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exercice

Bonsoir
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], on pose : [tex]\varphi_n(x)=n\big[\varphi(x+\tfrac{1}{n})-\varphi(x)\big][/tex].
La question est de montrer que [tex]\varphi_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex]. Il est clair que [tex]\varphi_n \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] puisque [tex]\varphi \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex], la difficulté est: comment déterminer le support de [tex]\varphi_n[/tex] ?
je commence par poser [tex]supp \varphi = [a,b][/tex], après je ne sais pas.
Merci beaucoup.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : exercice

Salut,

Indications:

Si tu u veux que [tex]\varphi_n(x)=0[/tex], tu remarques qu'il suffit que [tex]\varphi(x)=0[/tex]  et  [tex]\varphi(x+ \frac 1n)=0[/tex]  et pour cela il suffit  que:

[tex][x < a[/tex] ou [tex]x>b ][/tex] et [tex] [  x+ \frac 1n < a [/tex] ou   [tex]  x+ {1 \over n} >b ][/tex]

Un dessin n'est pas inutil, par exemple:

Essaye d'identifier la zonne verte.

Si tu remarques en plus que  [tex]a-1 \leq a - \frac 1n [/tex], tu obtient un segment indépendant de [tex]n[/tex] contenant tous les supports des [tex] \varphi_n[/tex]

htina

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Re : exercice

Ok, alors [tex]supp \varphi_n = [a-1,b][/tex]. J'ai deux questions:
1- pourquoi est-il important de trouver un support qui ne dépend pas de [tex]n[/tex]?
2- J'essaye de montrer que [tex]\varphi_n[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], quand [tex]n \to +\infty[/tex].
pour ca, il faut montrer qu'il existe un compact [tex]K[/tex] inclus dans [tex]\mathbb{R}[/tex], tel que
[tex]\varphi_n \in \mathcal{D}_K[/tex] et [tex]\varphi\in \mathcal{D}_K[/tex],
et
[tex]D^{\alpha} \varphi_n[/tex] converge uniformément sur K, vers [tex]D^{\alpha} \varphi[/tex], pour tout [tex]\alpha \in \mathbb{N}^n[/tex].

Avant, il faut trouver [tex]\varphi[/tex] qui est la limite simple de notre suite, mais voilà, quand je passe à la limite, j'obtiens [tex]+\infty.0[/tex] comment on fait?

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : exercice

[tex]\bullet[/tex] Non on n'a pas  [tex]\text{Supp}(\varphi_n)=[a-1,b][/tex]. Si tu ne comprends pas pourquoi, essaye de faire un effort pour y arriver. D'ailluirs, on ne te demande pas de determiner ce support, mais de prouver que  [tex]\varphi_n[/tex] est à support compact. Tout ce qu'on peut dire à présent est que : [tex]\forall n \in {\mathbb N}^* \quad \text{Supp}(\varphi_n) \subset[a-1,b][/tex] et cela est largement suffisant comme renseignement:
- Pour déduire que [tex]\text{Supp}(\varphi_n)[/tex] est compact
- Pour répondre à toutes tes questions sur la convergence.
[tex]\bullet[/tex] Pour ce qui est de la convergence simple de [tex]\varphi_n[/tex], tu  tâcheras par la suite d'acquerir certaines habitudes comme remarquer que  [tex]\varphi_n(x)=\frac{\varphi(x+\frac 1n)-\varphi(x)}{\frac 1n}[/tex], ce qui, normalment devrait t'aider à sentir vers quoi elle converge (si ce n'est pas le cas n'hésite pas de le dire). on verra ensuite le reste après.

htina

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Re : exercice

J'ai compris pourquoi le support est seulement inclus dans [tex][1-a,b][/tex], et il n'y est pas égale.
Pour ma question 2, on remarque que [tex]\lim_{n \to +\infty} \varphi_n(x)=\varphi'(x)[/tex].
Pour montrer la convergence dans [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] vers [tex]\varphi'(x)[/tex], on a deux points:
On note [tex]K=[a-1,b][/tex]
1- [tex]\varphi  \in \mathcal{D}_K(\mathbb{R})[/tex], par contre je ne sais pas expliquer que [tex]\varphi ' \in \mathcal{D}_K[/tex].
2- Soit [tex]\alpha \in \mathbb{N}^n[/tex], comment écrire
[tex]sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi_n(x) - D^{\alpha} \varphi(x)|[/tex]
puis calculer sa limite?

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : exercice

Salut

1. Supposons  [tex]\varphi  \in \mathcal D_K (\mathbb R)[/tex]  et soit  [tex]x \in U= \mathbb R \backslash K[/tex]. Comme [tex]U[/tex] est  un  ouvert, il  existe  [tex]\eta >  0[/tex]   tel  que [tex]]x-\eta,x+\eta[ \subset U[/tex]   donc   \varphi est sulle  sur [tex]]x-\alpha,x+\alpha[[/tex] donc  [tex]\varphi'[/tex]   aussi

2. Tu dis  chaque  fois  [tex]\alpha  \in {\mathbb N}^n[/tex]  alors  que  ici  [tex]n=1[/tex]   car  c'est  [tex]\mathbb R[/tex] (  ce  n'est  pas  [tex]\mathbb R^n[/tex] dans le ca général traité dans ton cours et  où  on  a  plusieurs  variables.)  donc  notre  [tex]\alpha[/tex]  est  dans  [tex]\mathbb N[/tex]  à  présent.
Pour ta question: Utilise l'une des formules de Taylor ( je te propose Tyalor-Lagrange par exemple)que tu écrira  à l'ordre désiré ...
Exemple: [tex]|\varphi(x+\frac 1n)-\varphi(x) - \frac 1n \varphi'(x) | \leq    |\varphi"(c_n)| /2n^2[/tex]  or  [tex]\varphi''[/tex] est  bornée sur [tex]\mathbb R[/tex]  donc  tu  aura  une  majoration  par  un certain  [tex]M/n^2[/tex]  où  [tex]M[/tex]  est  une  costante 
indépendante  de  n ....

Edit : division par 2 oubliée dans les reste de Lagrange.

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (21-10-2014 22:27:36)

htina

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Re : exercice

Je ne comprend pas comment choisir l'ordre du developpement de Taylor, ce qui est demandé, c'est de montrer que pour tout [tex]\alpha \in \mathbb{N}, \lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi_n (x) - D^{\alpha} \varphi'(x)|=0[/tex]
quel [tex]\alpha[/tex] choisir?

MOHAMED_AIT_LH

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Re : exercice

Ce n'est pas [tex]\alpha[/tex] qu'on coisit car [tex]\alpha[/tex] est imposé (quantificateur universel [tex]\forall[/tex] ), mais l'ordre du developpement (tu vois qu'on arrête à l'ordre [tex]2[/tex]).
Donc j'attendais de toi que tu doone d'abord l'expression de [tex]D^{\alpha}\varphi_n(x)[/tex] , à savoir : [tex]D^{\alpha}\varphi_n(x)=n(D^{\alpha}\varphi(x+\frac 1n)- D^{\alpha}\varphi(x))[/tex] d'où l'on déduit facilement que[tex] \lim_{n \to +\infty} D^{\alpha}\varphi_n(x)=D^{\alpha+1}\varphi(x)[/tex]  (ce qui explique ton [tex]D^{\alpha}\varphi'(x)[/tex]  dan la formule ci-dessus dans ton dernier post).
Ensuite tu désires démontrer que cette convergence est uniforme, donc je t'ai invité à utiliser la formule de Taylor-Lagrange. Ici oon va l'utiliser pour [tex]D^{\alpha}\varphi[/tex]  entre [tex] x+\frac 1n[/tex]  et  [tex]x[/tex], et on arrête à un reste d'ordre 2, ce qui te donne: [tex]D^{\alpha}\varphi(x+\frac 1n)=D^{\alpha}\varphi(x)+\frac 1n D^{\alpha+1}\varphi(x)  + \frac{1}{2n^2} D^{\alpha +2 }\varphi(c_n)[/tex]  avec  [tex]c_n \in ]x,x+\frac 1n[[/tex]
Tu  dois  maintenant pouvoir déduire de ça que [tex]\sup_{x \in K}|D^{\alpha}\varphi_n(x)-D^{\alpha+1}\varphi(x)| \leq \frac{M}{2n^2}[/tex] où [tex]M[/tex]  est une constante  dont tu expliquera la provenance.

Edit: [tex]\sup_{x \in K}|D^{\alpha}\varphi_n(x)-D^{\alpha+1}\varphi(x)| \leq \frac{M}{2n}[/tex] à la place de [tex]\sup_{x \in K}|D^{\alpha}\varphi_n(x)-D^{\alpha+1}\varphi(x)| \leq \frac{M}{2n^2}[/tex] .

Dernière modification par MOHAMED_AIT_LH (22-10-2014 23:42:08)

htina

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Re : exercice

Ainsi,
[tex]D^{\alpha} \varphi(x+\dfrac{1}{n})=D^{\alpha} \varphi(x) + \dfrac{1}{n} D^{\alpha+1}(x) + \dfrac{1}{2n^2} D^{\alpha+2} \varphi(c_n)[/tex] avec [tex]c_n \in ]x,x+\dfrac{1}{n}[[/tex]
ce qui implique que
[tex]|D^{\alpha} \varphi_n(x) - D^{\alpha+1} \varphi(x)|=\dfrac{1}{2n} D^{\alpha+2} \varphi(c_n)[/tex]
qui implique que
[tex]
\sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi_n(x)- D^{\alpha+1}\varphi(x)| \leq \dfrac{M}{2n}
[/tex]
où [tex]M=\sup_{x\in K} D^{\alpha+2} \varphi(x)[/tex]. Ainsi, [tex]\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^{\alpha} \varphi_n(x) - D^{\alpha+1} \varphi(x)|=0.[/tex]

Si tout est correct, ma question est: pourquoi on s'arrête à l'ordre 2, et en général, à quel ordre on s'arrête dans le developpement de Taylor-Lagrange?
Merci

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : exercice

D'abord bravo! car  tu  as  trouvé un majorant en [tex]\frac 1n[/tex], contrairement à ce que j'avais indiqué (en [tex]\frac 1{n^2}[/tex] ) car j'ai oublié de multiplier par [tex]n[/tex]. J'ai donc édité en corrigeant cela.

Ensuite tu remarque donc qu'on avais besoin de pousser jusqu'à l'ordre [tex]2[/tex] pour récupérer le [tex]\frac{M}{n}[/tex]  qund on multiplie par [tex]n.[/tex] ( on besoin d'une suite majorante  qui tends vers zero ..)

Généralement, on pousse les developpement jusqu'à l'ordre necessaire pour le résultat désiré mais permis par les hypothèse sur la régularité de la fonction developpée (dans notre cas tout ordre est permis car les fonction sont de classe [tex]C^{\infty}[/tex] )

htina

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Re : exercice

Merci beaucoup pour votre aide.