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mona123

Invité

integration

salut ,pouvez vous s'il vous plait m'aider à prouver ce problem :
si f est une fonction definie et uniformement continue sur un ensemble borné E de Rn alors f est bornée .
merci d'avance.

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : integration

Salut,
Indic:
Je suppose que l'arrivée de la fonction en question est aussi [tex]{\mathbb R}^d[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Considére [tex]K =\overline E[/tex] (adhérence).
[tex]\bullet[/tex] Prouve que [tex]f[/tex] peut se prollonger de façon unique à [tex]K[/tex] en une application [tex]\overline f[/tex] uniformément continue sur [tex]K.[/tex]
Pour se faire si [tex]x \in K[/tex]  il existe [tex](u_n) \in E^{\mathbb N}[/tex] tel que [tex]a_n \to x[/tex]
prouve que la suite [tex](f(u_n))[/tex]  est une suite de Cauchy, en utilisant l'uniforme contnuité de [tex]f[/tex] et le fait que [tex](u_n) \to x.[/tex]
[tex]\bullet[/tex] La complétude de [tex]{\mathbb R}^d[/tex]  donne la limite de [tex]f(u_n)[/tex], disons [tex]\ell[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Prouve finalement que  [tex]\ell[/tex]  ne dépends que de [tex]x[/tex] et on nomme alors [tex] \overline f(x)=\ell[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Prouve que [tex]\overline f[/tex]  est uniformément continue sur [tex]K[/tex].
[tex]\bullet[/tex] La compacité de [tex]K[/tex] permet de conclure.