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padré

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Driagonalisation et triangularisation

Bonjour tout le monde,
voila j'ai un petit probleme de comprehension du cours :
1/ je ne comprends pas comment est ce que l'on passe du polynome caracteristique a la matrice diagonale . non pas que je ne sache pas la trouver je sais diagonaliser une matrice mais je ne comprend pas theoriquement le saut du polynome puis le calcul des vecteur propre a la "mise en matrice" c'est l'aspect theorique qui m'interesse pas le calcul .
2/je ne comprend pas la difference entre les conditions necessaires pour qu'une matrice soit diagonalisable ou triangulaire ,dans les 2 le polynome doit etre scindé mais alors quelle est la difference au niveau du polynome.
merci de me repondre

Fred

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Re : Driagonalisation et triangularisation

Salut,

  Les racines du polynôme caractéristique te donnent les réels [tex]\lambda[/tex] tels que la matrice [tex]A-\lambda I_n[/tex] ne soit pas inversible. Cela signifie que pour ces réels, on peut trouver des vecteurs propres associés à la valeur propre [tex]\lambda[/tex], c'est-à-dire que [tex]Av=\lambda v[/tex]. En mettant ensemble tous ces vecteurs propres, on peut espérer trouver une base de vecteurs propres pour A, et donc diagonaliser la matrice.

  Concernant ta deuxième question, la condition nécessaire est la même, c'est vraie, mais elle n'est suffisante que pour obtenir une matrice triangulaire supérieure!

Fred.

padré

Invité

Re : Driagonalisation et triangularisation

Salut,

  Les racines du polynôme caractéristique te donnent les réels [tex]\lambda[/tex] tels que la matrice [tex]A-\lambda I_n[/tex] ne soit pas inversible. Cela signifie que pour ces réels, on peut trouver des vecteurs propres associés à la valeur propre [tex]\lambda[/tex], c'est-à-dire que [tex]Av=\lambda v[/tex]. En mettant ensemble tous ces vecteurs propres, on peut espérer trouver une base de vecteurs propres pour A, et donc diagonaliser la matrice.

  Concernant ta deuxième question, la condition nécessaire est la même, c'est vraie, mais elle n'est suffisante que pour obtenir une matrice triangulaire supérieure!

Fred.

merci Fred pour ta reponse, donc si j'ai bien compris si le polynome caracteristique de ma matrice est scindé en racines simples alors c'est sûr ma matrice est trigonalisable . si il est scindé en racines simples 2 a 2 distinctes alors la c'est sur elle est diagonalisable . enfin si il est scindé mais que mes racines ne sont pas 2 a 2 distinctes il faut que la somme des espaces propres engendré par chaque valeur propre sont egale a E .

Fred

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Re : Driagonalisation et triangularisation

Exactement.

padre

Invité

Re : Driagonalisation et triangularisation

Exactement.

merci beaucoup !