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joanie

Invité

inégalité

Bonjour,

je doit montrer que [tex]\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}\leq\frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-y)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(y-z)\mid}[/tex]

j'ai réussi à trouver que

[tex]\frac{\mid(x-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-z+y-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid}=\frac{\mid(x-y)+(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} \leq \frac{\mid(x-y)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} + \frac{\mid(y-z)\mid}{1+\mid(x-z)\mid} [/tex]

mais après je bloque...
pouvez-vous m'aider??

Merci

Fred

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Re : inégalité

Salut,

  Pour simplifier les notations, je poserais [tex]a=x-y[/tex] et [tex]b=y-z[/tex], de sorte que je dois prouver :

[tex]\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}[/tex].

En mettant tout au même dénominateur, ceci revient à prouver :
[tex]|a-b|(1+|a|)(1+|b|)\leq (|a|(1+|b|)+|b|(1+|a|))(1+|a-b|)[/tex]

et sauf erreur de ma part, en développant tout, on remarque que c'est vrai!

F.

joanie

Invité

Re : inégalité

Salut,

  Pour simplifier les notations, je poserais [tex]a=x-y[/tex] et [tex]b=y-z[/tex], de sorte que je dois prouver :

[tex]\frac{|a-b|}{1+|a-b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}[/tex].

En mettant tout au même dénominateur, ceci revient à prouver :
[tex]|a-b|(1+|a|)(1+|b|)\leq (|a|(1+|b|)+|b|(1+|a|))(1+|a-b|)[/tex]

et sauf erreur de ma part, en développant tout, on remarque que c'est vrai!

F.

hum sa devrait être

[tex]\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\leq \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}[/tex] qu'il faudrait montrer je crois avec tes notations

Fred

Administrateur

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Re : inégalité

Tu as raison, mais la preuve fonctionne quand même!!!