Somme

Existanz · 07-10-2014 13:38:30

Bonjour ,

aidez moi svp a prouver que

[tex]\sum_{k=1}^n \frac{k.k!}{n^k} * \binom{n}{k} = n[/tex]

Dernière modification par Existanz (07-10-2014 15:03:04)

yoshi · 07-10-2014 14:46:44

Bonjour,

Bienvenue à bord..
n=2
[tex]\frac{1 \times 1!}{2^1}+\frac{2 \times 2!}{2^2}=\frac 1 2+1 =\frac 3 2 \neq 2[/tex]

n=3
[tex]\frac{1 \times 1!}{3^1}+\frac{2 \times 2!}{3^2}+\frac{3 \times 3!}{3^3}=\frac 1 3+\frac{4}{9}+\frac{18}{27} =\frac{9+12+18}{27}=\frac{13}{9} \neq 3[/tex]

Quelque chose m'échappe ? Ou cet énoncé est-il incorrect ?

@+

[EDIT] Si tu veux qu'une formule LateX soit interprétée :
- sélectionne-la,
- clique ensuite sur l'icône ^TE^X de la barre d'outils des messages (1ere à gauche) : cela a pour effet effet d'encadrer ta formule par les balises tex et /tex (entre crochets) indispensables...

Dernière modification par yoshi (07-10-2014 19:42:30)

tibo · 07-10-2014 19:12:47

Yop,

La combinaison dans la somme t'a échappée...

[tex]\sum_{k=1}^n \frac{k.k!}{n^k} \times \binom{n}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{k.k!}{n^k} \times \frac{n!}{k!(n-k)!} = \sum_{k=1}^n \frac{k.n!}{n^k(n-k)!}[/tex]

du coup pour [tex]n=2[/tex]
[tex]\frac{1.2!}{2^1(2-1)!}+\frac{2.2!}{2^2(2-2)!}=\frac{2}{2}+\frac{4}{4}=1+1=2[/tex]
pour [tex]n=3[/tex]
[tex]\frac{1.3!}{3^1(3-1)!}+\frac{2.3!}{3^2(3-2)!}+\frac{3.3!}{3^3(3-3)!}=\frac{6}{6}+\frac{12}{9}+\frac{18}{27}=1+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=3[/tex]
(et au passage je viens de faire ce que j’interdis à mes élèves, calculer les produits avant de simplifier...)

Dernière modification par tibo (07-10-2014 19:24:47)

yoshi · 07-10-2014 19:40:54

Re,

tibo a écrit :

La combinaison dans la somme t'a échappée...

Nan !
Elle ne figurait pas dans l'énoncé du début...
La preuve : l'heure de correction de l'énoncé sans aucun mot de regret (me faisant passer pour quelqu'un qui ne sait pas lire : voilà qui manque de correction) postérieure à l'heure de publication de mon post...
Alors, réponse du berger à la bergère : je modifie mon propre post en ajoutant la 2e partie de la question non posée pour ménager la susceptibilité éventuelle du demandeur...

Au passage : bravo, tibo !
Complet, l'énoncé a une autre "gueule" quand même...

En plus, c'est niveau Collège/Lycée : je déplace !

@+

Fred · 07-10-2014 20:12:46

Hello,

Moi, j'aimerais bien qu'Existanz nous donne le "contexte" de cet exercice.
Parce qu'il n'a pas l'air très facile, en réalité....

Fred.

yoshi · 07-10-2014 20:18:27

Hi Fred,

Je testerai demain et je reprendrai mon idée première, laquelle m'avait poussé à faire les calculs dont je m'étais dispensé pour vérifier seulement l'héritage : j'étais parti sur une récurrence...

Je verrai donc demain, si l'idée est bonne ou mauvaise.

@+

freddy · 08-10-2014 07:17:21

yoshi a écrit :

Re,
(...)
Au passage : bravo, tibo !
Complet, l'énoncé a une autre "gueule" quand même...
En plus, c'est niveau Collège/Lycée : je déplace !
@+

Salut Yoshi,
c'est plus proche de math sup, ce machin, non ?

yoshi · 08-10-2014 08:53:04

Salut l'ami,

La nuit est passée par dessus, ma mauvaise humeur estompée, j'ai pris le temps d'envisager ça froidement...
Réponse de normand (que je ne suis pas)
Techniquement, non...
Au niveau de la technicité à mettre en œuvre, c'est plus que possible...

La récurrence ne me paraît plus ce matin être une aussi bonne idée ; en tous cas, je crains que ça n'entraîne des calculs pas simples.
Il m'avait quand même échappé quelque chose dans mes essais hier :
Passer de [tex]\sum_{k=1}^n \frac{k.k!}{n^k} \times \binom{n}{k}[/tex] à [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k.k!}{(n+1)^k} \times \binom{n+1}{k}[/tex] oblige à reprendre tous les dénominateurs...

Wait and see...

Cela dit après mon intervention d'hier, pourtant justifiée - c'est au minimum très maladroit de la part d'Existanz -, je doute qu'il revienne : j'aurai fait fuir un "client"... Au temps pour moi !

Je retourne à la programmation de mes équations...

@+

Existanz · 08-10-2014 14:09:22

Bonjour ,
alors pour ce qui est de la combinaison , oui je l'ai oublié et j'avais tellement la tete ailleur que j'ai oublié de mentionner celà . je ne pense pas que ça soit un exo de college , je 'lai trouvé dans un livre de math sup , a moins que je suis ***

Fred · 08-10-2014 15:37:59

Un livre de math sup qui traite de quel chapitre???
Le chapitre du calcul algébrique, où on introduit les combinaisons...

F.

Existanz · 08-10-2014 16:25:27

Nombre réels ..

Fred · 08-10-2014 20:46:01

Ben je ne sais pas....

freddy · 09-10-2014 10:36:37

Salut,

j'ai trouvé le truc, il faut partir du dernier terme de la somme et remonter pas à pas.

On a :[tex] \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^k}\frac{n!}{(n-k)!}= 1+2\times \frac{n-1}{n}+3\times \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}+ \cdots +(n-1)\times \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac 2 n +n\times \frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac 1 n[/tex].

On prend les deux derniers temes, réduction au même dénominateur, factorisation et ... piste à creuser (je le fais à la manière de Fred :-))

Fred · 09-10-2014 12:57:15

Ah, je crois que j'ai compris!!!!

En gros, tu veux montrer par récurrence décroissante sur p que
[tex]\sum_{k=p}^n k\frac{n!}{n^k (n-k)!}=\frac{(n-1)\dots (n-p+1)}{n^{p-2}}[/tex]....

Magnifique! Félicitations!

Existanz · 09-10-2014 13:15:12

Bravo ! Merci bcp !

freddy · 11-10-2014 21:10:57

Re,

oui, c'est à peu près ça. Si je l'écris autrement, on montre par récurrence sur p variant de [tex]0[/tex] à [tex]n-1[/tex] que:

[tex]\sum_{k=n-p}^n \frac{k}{n^k}\times \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n^{p+1}}{p!}\times \frac{n!}{n^n}[/tex].

Donc quand [tex]p = n-1[/tex], on a bien [tex]\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^k}\times \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n^{n}}{(n-1)!}\times \frac{n!}{n^n}=n[/tex]

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