Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lipizan

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surface d'un arc de cercle ?

Bonjour
Je cherche à trouver une formule donnant la surface d'un arc de cercle de longueur (arc) 20m et de "flèche" 4m. Je ne connais pas le rayon... est-ce possible ?
Merci par avancce.
Lipizan

yoshi

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Bonsoir,

Qu'est-ce que tu appelles la flèche ? L'apothème, c'est à dire la distance du centre à la corde ?

La longueur de l'arc de cercle s'exprime par L = R*a, a étant l'angle en radians et R le rayon.
L'aire du secteur circulaire est A = 0.5*R²*a avec les mêmes notations.

Donc oui, ça doit être possible, il me faut résoudre l'équation 5*cos(a/2) - a = 0.

Et ce soir, c'est trop pour moi, je verrai ça demain. D'ici là d'ailleurs, John passera peut-être par là et aura bien la réponse, l'heure n'ayant pas l'air d'être un problème pour lui...

A demain donc

[EDIT] Plus tard...
Ici 20=R*a d'où R= 20/a et A = 1/2 * (20/a)²*a = 200/a
Une valeur approchée de l'angle a : 2.22 rad (je vais essayer de faire mieux demain
La valeur de A est environ de 90 m²

JJ

Invité

Re : surface d'un arc de cercle ?

Bonjour,

angle = 1,699904037489755 radian
rayon = 11,765370020225947 m
aire = 49,01777376274995 m2
à vérifier...

yoshi

Modo Ferox

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Bonjour,

JJ, j'aurais aimé savoir comment tu en arrivais là. J'ai oublié comment résoudre ce genre d'équation : il va falloir que je cherche...
En tous cas : 5*cos(1,699904037489755/2) = 3,300095963 et ton angle n'est pas solution de mon équation.

Ma réponse est (estimation faite au grapheur, puis affinage au tableur) :
angle = 2,22102 rad (5*cos(a/2)=2,221023 je ne suis pas loin. L'écart est de 3 millionièmes).
Aire = 90,5 m²
Rayon = 9 m à 1 cm près

Donc mon équation est-elle juste ?
20 = R*a donc  R = 20/a
D'autre part, je trace la corde, je trace l'apothème (4 m), je trace un rayon, et j'obtiens un triangle rectangle dont l'angle aigu ayant pour sommet le centre du cercle vaut a/2.
Dans ce triangle rectangle : R = 4/cos(a/2)
On a donc :
[tex]\frac {4}cos{\left({a \over 2}\right)}={20 \over a}[/tex]
J'ai donc :
[tex]20cos{\left({a \over 2}\right)}=4a[/tex]
Soit encore :
[tex]5cos{\left({a \over 2}\right)}-a=0[/tex]

A priori, mon équation est donc juste et mon angle aussi...

@+

lipizan

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Bonjour et merci pour ces réponses si rapides.

Pour moi, la flèche est le segment qui relie l'arc (portion courbe) à la corde (segment droit) en étant perpendiculaire à la corde et passant par son milieu.
J'avais fait une approximation en traçant un triangle rectangle ayant comme angle droit l'angle 1/2 corde - flèche ; si on imagine un  vrai arc, le petit côté de ce triangle serait une flèche de 4 m et le grand côté mesure 10 m, correct ? L'hypothènuse suit l'arc de cercle

Donc, ce triangle rectangle a une aire de (10*4)/2 soit 20 m2 et l'aire de l'arc de cercle est d'environ deux fois ce triangle soit 40 m2 environ (grossse approximation, bien sûr). Il me parait donc plus vraisemblable que l'aire soit approchante de 50-60 m2 que 100, non ?

Qu'en pensez-vous ?
Merci encore
Lipizan

yoshi

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Bonjour,

Oui, mes calculs sont tous à revoir parce que j'ai mal interprété le mot flèche...

Donc,

@+

[EDIT]Quelques temps plus tard...
JJ avait vu juste sur le sens du mot flèche, pas moi : en première approximation, je trouve maintenant angle = 1,6999... rad
Ses réponses doivent donc être exactes. L'aire est donc bien environ 49,0177 m²

Pour ceux qui seraient intéressés, j'explicite ma méthode.
Je reprends mon triangle rectangle et avec les mêmes notations j'écris :
apothème = R*cos(a/2), soit R-4 = R*cos(a/2)
Je reprends aussi : R = 20/a que je remplace au-dessus :
[tex]{20 \over a}-4={20 \over a}\times cos(\frac{a}{2})[/tex]
Je multiplie les deux membres par a :
[tex]20-4a=20 \times cos(\frac{a}{2})[/tex]
-Ou encore l'équation suivante (dont il faut extraire l'angle) après simplification par 4 :
[tex]5 cos(\frac{a}{2})+a-5=0[/tex]

@+

lipizan

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Un grand merci à vous deux.
Lipizan

john

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Re : surface d'un arc de cercle ?

Pour yoshi... mais bonjour à tous,
Pour résoudre cos(x) = 1 - 2.x/5, il faut créer une suite x1, x2... xn qui converge vers la solution.
Notation
x = x(n)
x+ = x(n+1)
La formule de récurrence est :
x+ = Acos(1 - 2.x/5)
avec xo = Pi/2 par exemple.
Facile à la calculette programmable mais aussi à la calculette de bureau :
mémoriser -2/5 -> MR
taper Pi/2 puis une dizaine de fois la séquence :
* MR + 1 = inv cos * MR + 1 = inv cos ....... * MR + 1 = inv cos.
sans oublier de passer l'affichage en radians.
Mais non yoshi... je ne détaille pas pour toi, je sais bien que tu sais faire. D'ailleurs en vérifiant (une fois n'est pas coutume), je me suis aperçu qu'il y avait 2 solutions. L'autre doit correspondre à une flèche supérieure au rayon mais je n'ai pas vérifié.
A+

Dernière modification par john (21-02-2007 13:00:05)