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siwar

Invité

integration

hello can someone help me to solve this problem:
(a) Let {[ak; bk]}k=1,..,N
be a nite collection of closed intervals in R that covers the rationals
in [0; 1].
Show that ∑ k=1 ,.., N (bk - ak)  ≥ 1.
(b) Show that for any ε > 0, the rationals in [0; 1] can be covered by a countable collection of closed intervals {[ak; bk]}k=1,..∝ such that ∑ k=1, ..,N (bk - ak)  < ε

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 401

Re : integration

Hi,

Do you know ? These few words are not optional :  "Thank you"... ^_^
If you want to listen something new and know and understand it well, here we ask you for what you already have done ;-)

This will be better for you.

From our rules :

    * Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

On you !

siwar

Invité

Re : integration

hi, i really tried to solve this problem but i didn't find the solution.if you could help me ,i will be very thankful.

Fred

Administrateur

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Re : integration

Hello,

  For the first question :
1) Just observe that if this contains all the rationals numbers, then its closure contains the closure of the rational numbers, namely [0,1].
Now, a finite union of closed sets is closed, thus
[tex] [0,1] \subset \bigcup_{k=1}^N [a_k,b_k] [/tex]
and from this you can deduce your property.

2) Take [tex](q_k)[/tex] an enumeration of all rational numbers in [0,1] and define
[tex] a_k=q_k-\frac{\epsilon}{2^k},\ b_k=q_k+\frac{\epsilon}{2^k} [/tex]

It is easy to check that this satisfies what you need.

F.

siwar

Invité

Re : integration

thank you Fred for your help.i understood the question a) but i didin't know how to justify that (qk)
can be covered by a countable collection of closed intervals in question b) .
can you help me  please .thanks again.

Fred

Administrateur

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Re : integration

Because [tex] q_k \in [a_k, b_k] [/tex] !!!!

siwar

Invité

Re : integration

this prove the inclusion (qk) is inclued in the union.
and for the second inclusion we take X in the union then there exist k such that x in [ak,bk] then why x is in (qk)?

Fred

Administrateur

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Re : integration

Of course, this is false, but your say "is covered by". Thus you need just one inclusion.

amal louati

Invité

Re : integration

salut

une tribu borelienne B(R):cest a dire que cest une tribu engendree soit par les ouverts de R ou les fermes mais jai pas compris, comment on peut justifier que certaines familles peuvent engendre B(r)..je tire lexemple suivant:B(r) est la tribu engendre par O..est ce que O peut etre={[a,b]..a,b appartient à`R²}?, est ce que il suffit de l'approuver qu'elle est une topologie car on sait que la reunion des elements d'une topologie forment un ouverts??? et mrcie d'avance

siwar

Invité

Re : integration

thank you fred