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Rosenzweig

Invité

Somme de coefficient binomiaux

Bonsoir,

Je cherche à démontrer l'équation suivante :

[tex]\sum_{k=0}^{n} (-1)^n{2n \choose k}^2 = (-1)^n {2n \choose n} \qquad [/tex]

La consigne me conseille aussi d'utiliser la formule (x-1)²ⁿ=(x-1)ⁿ(x-1)ⁿ
puis de déterminer le coefficient du monôme de xⁿ

j'ai essayer de faire la somme [tex]\sum_{k=0}^{n} (x-1)^n [/tex] le tout au carré grace au binôme de Newton mais je ne sais pas par où continuer...

Merci

freddy

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Re : Somme de coefficient binomiaux

Salut,

es-tu sûr de ton énoncé ?
Ne serait-ce pas plutôt :

[tex]\sum_{k=0}^{n} (-1)^n{n \choose k}^2 = (-1)^n {2n \choose n} \qquad [/tex] ?

qu'on obtient aisément à partir de [tex](x-1)^{2n}=(x-1)^n\times (x-1)^n[/tex]

Rosenzweig

Invité

Re : Somme de coefficient binomiaux

Oui c'est exacte je me suis trompé, je modifie mon message initiale,
Pour moi ce n'est pas aussi aisé que ça ...

freddy

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Re : Somme de coefficient binomiaux

Re,

entraine toi, ce type d'exercice est essentiel pour bien manipuler les coefficients binomiaux.
Fais comme te dit la consigne et tu vas trouver, même au prix d'un effort certain. C'est comme l'escalade, on est toujours heureux d'arriver au sommet, surtout quand on a beaucoup douté et transpiré :-)

Fred

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Re : Somme de coefficient binomiaux

Je complète un petit peu la réponse de Freddy car j'ai peur que tu n'ais pas compris d'où vient la somme :

Le terme de droite de ton égalité vient de la formule du binome à [tex](x-1)^{2n}[/tex].

Pour le terme de gauche, tu fais la formule du binôme aux deux facteurs [tex](x-1)^n[/tex] et [tex](x-1)^n[/tex].
Puis tu fais le produit de ces deux sommes. Comment obtient le coefficient devant x^n????
A partir du coefficient devant x^0 multiplié par celui devant x^n, puis par le coefficient devant x multiplié par celui devant x^(n-1), etc....

Fred.