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aymen

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prolongement d'une fonction

bonjour s'il vous plais m'aider à resoudre ce probleme:
si f est definie et uniformement continue dans E ( E est un ensemble  de Rn) montrer q'il esciste une fonction g definie et continue dans l'adherence de E telque
g = f dans E.

Choukos

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Re : prolongement d'une fonction

Salut,
On a l'adhérence de E qui est un fermé inclus dans le complet [tex]\mathbb{R}^n[/tex], E est donc complet.  On construit ensuite "à la main" la fonction g à partir de f.
Pour cela prend un élément [tex]x[/tex] quelconque de l'adhérence de E, il existe une suite [tex](x_n)_n[/tex] d'élements de E qui tend vers [tex]x[/tex]. Maintenant que sais-tu de l'image d'une suite de Cauchy par une fonction uniformément continue ?

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 16:36:49)

aymen

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Re : prolongement d'une fonction

salut
je sais que l'image d'une sute de Cauchy par une fonction uniformement continue est aussi de Cauchy

Choukos

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Re : prolongement d'une fonction

Ok !
Maintenant l'espace d'arrivé étant de Banach et [tex]f(x_n)_n[/tex] étant une suite de Cauchy dans cet espace, elle converge en un certain point qu'on notera y. On en déduit un candidat pour être notre fonction g : c'est la "fonction" qui vaut f(x) si x est dans E et qui vaut [tex]y:=\lim_n f(x_n)[/tex] si x est dans l'adhérence de E.

Toutefois, il faut avant tout montrer que notre candidat définit bien une fonction ! En effet, on a pris arbitrairement au départ une suite de Cauchy qui converge vers x. Que se passe-t-il si on prend une autre suite de Cauchy [tex](a_n)_n[/tex] qui tend vers x ?
On aurait un problème si g(x) = deux valeurs différentes, ça ne définirait pas une fonction ! Heureusement, on peut montrer qu'on a ici pas de problème, i.e. que y est le même pour n'importe quelle suite de Cauchy qui tend vers x.

Soit [tex](a_n)_n[/tex] une seconde suite de Cauchy d'éléments de E qui tend vers x. Montre que [tex]\lim_n f(x_n)=\lim_n f(a_n)[/tex]. Il te restera ensuite à montrer que g est bien continue.

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 17:59:04)

aymen

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Re : prolongement d'une fonction

pardon je trouve difficile de montre que  les deux limite des deux suite coincide et que g est continue .puvez vous m'aider encore s'il vous plait?

Choukos

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Re : prolongement d'une fonction

Soit [tex](b_n)_n[/tex] la suite définie par [tex]b_{2n}=x_n[/tex] et [tex]b_{2n+1}=a_n[/tex]. Alors :

[tex]\lim_n b_n = x[/tex],
[tex]\lim_n f(b_{2n})=\lim_n f(x_n)[/tex],
et [tex]\lim_n b_{2n+1}= \lim_n f(a_n)[/tex].

Or [tex](f(b_n))_n[/tex] converge, donc la limite de toute suite extraite de [tex]f(b_n)_n[/tex] converge et vers la même limite, en particulier pour [tex](f(b_n)_{2n})_n[/tex] et [tex](f(b_n)_{2n+1})_n[/tex].

Donc [tex](\lim_n f(b_n) =) \lim_n f(x_n) = \lim_n f(a_n)[/tex].

On a donc montré que g est bien définie.

----

Montrons que g est continue. Soient x, y deux éléments de l'adhérence de E et (x_n) et (y_n) deux suites convergentes, convergeant respectivement vers x et y.

[tex] \Vert g(x) - g(y) \Vert = \Vert (g(x) - g(x_n))+(g(x_n) - g(y_n))+(g(y_n)-g(y)) \Vert[/tex]
[tex] \Vert g(x) - g(y) \Vert \leq \Vert g(x)-g(x_n) \Vert + \Vert g(x_n)-g(y_n) \Vert + \Vert g(y) - g(y_n) \Vert [/tex]
[tex] \Vert g(x) - g(y) \Vert \leq \Vert g(x)-g(x_n) \Vert + \Vert f(x_n)-f(y_n) \Vert + \Vert g(y) - g(y_n) \Vert [/tex]

et je te laisse vérifier que grâce à cette dernière égalité on peut montrer que g est continue.

aymen

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Re : prolongement d'une fonction

Choukous mercie encore une fois
je voudrais savoir si j'ai bien comprie la reponse:
vous avez utilisé le fait que f(xn)=g(xn) car (xn) est d'elements de E mais je n'est pas compris si vous voulez montre que g est uniformement continue et je n'arrive pas à terminer la preuve .aider mois s'il vous plait

Choukos

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Re : prolongement d'une fonction

Re,
Oui f(x_n)=g(x_n) car les x_n sont des éléments de E. Finissons la preuve :

Soit [tex]\epsilon > 0[/tex] fixé. Par construction, [tex] g(x_n) \rightarrow g(x)[/tex]. Il existe donc un rang [tex]N_1[/tex] tel que pour tout [tex]n\geq N_1[/tex], [tex]\Vert g(x) -g(x_n) \Vert \leq \frac{\epsilon}{3}[/tex].

De même, il existe un rang [tex]N_2[/tex] tel que pour tout [tex]n\geq N_2[/tex], [tex]\Vert g(y) -g(y_n) \Vert \leq \frac{\epsilon}{3}[/tex].

Maintenant plus dur, on veut montrer que [tex]\Vert f(x_n) -f(y_n) \Vert \leq \frac{\epsilon}{3}[/tex] pour n assez grand :
Mais f étant continue, il existe [tex] \delta > 0 [/tex] tel que si [tex]\Vert a - b \Vert \leq \delta[/tex] alors [tex]\Vert f(a) - f(b) \Vert \leq \frac{\epsilon}{3}[/tex].
Or,
[tex]\Vert x_n - y_n \Vert = \Vert (x_n - x) + (x - y) + (y - y_n) \Vert[/tex] ,
[tex]\Vert x_n - y_n \Vert \leq \Vert (x_n-x) \Vert + \Vert (x-y) \Vert + \Vert (y-y_n) \Vert [/tex].
D'où pour x et y "assez proche", l'existence d'un entier [tex]N_3[/tex] tel que pour tout [tex]n \geq N_3[/tex], [tex]\Vert x_n - y_n \Vert \leq \delta [/tex]
Donc, si x et y sont "assez proches" [tex]\Vert f(x_n) -f(y_n) \Vert \leq \frac{\epsilon}{3}[/tex]

Finalement, si x et y sont "assez proches", et pour [tex]N = \text{max}(N_1, \, N_2, N_3)[/tex] :

[tex] \Vert g(x) - g(y) \Vert \leq \underbrace{\Vert g(x)-g(x_N) \Vert}_{\leq \frac{\epsilon}{3}} + \underbrace{\Vert f(x_N)-f(y_N) \Vert}_{\leq \frac{\epsilon}{3}} + \underbrace{\Vert g(y) - g(y_N) \Vert}_{\leq \frac{\epsilon}{3}} [/tex] ,
[tex]\Vert g(x) - g(y) \Vert \leq \epsilon [/tex].

Cette dernière inégalité ne dépendant que du fait que x et y soient proches, on a ainsi montré l'uniforme continuité de g. Je suis juste un peu fainéant pour enlever les "." aux "assez proches" mais je pense que si tu comprends le reste de cette preuve ça ne devrait pas te poser de soucis à les enlever.
Pour résumer la preuve, pour travailler sur g on se ramène à étudier f, qui elle est continue, en considérant une suite qui tend vers x et une suite qui tend vers y.

Dernière modification par Choukos (27-09-2014 19:33:59)

aymen

Invité

Re : prolongement d'une fonction

mercie bien Choukos.