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sarra

Invité

diametre d'une partie

bonjour s'il vous plait  m'aider a demontrer que
diam(A)=diam(l'adérence de A)

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : diametre d'une partie

Salut:
Indications: Il fallait préciser la nature de l'espace où tu travailles. Je vais supposer  pour l'instant que [tex]E[/tex] est un [tex]\mathbb K-[/tex]espace vectoriel normé où [tex]\mathbb K[/tex] est soit [tex]\mathbb C[/tex] soit [tex]\mathbb R[/tex] et soit [tex]A[/tex] une partie non vide bornée de [tex]E[/tex] et [tex]d[/tex] le diamètre de [tex]A[/tex] . Il est aisé de prouver que [tex]\overline A[/tex] est aussi bornée et soit alors et [tex]d'[/tex] le diamètre de  [tex]\overline A[/tex]. Comme [tex]A \subset \overline A[/tex], tu peux facilement en déduire que [tex]d \leq d'[/tex].
IL te restera à prouver que [tex]d' \leq d[/tex], pour cela il suffira de prouver que pour tout entier naturel [tex]n[/tex], on a [tex]d'-d \leq \frac{1}{n+1},[/tex] et par passage à la limite quand  [tex]n[/tex] tends vers  [tex]+\infty[/tex], tu pourra  conclure.Soit alors [tex]n[/tex] un tel entier naturel. Par définition de la borne supérieure, il existe [tex]x',y' \in \overline A[/tex] tel que [tex]d' \leq \|x'-y'\|+\frac 1{3(n+1)}.[/tex] Par définition de l'adhérence il existe [tex]x,y \in A[/tex] tel que [tex]\|x'-x\| \leq  \frac 1{3(n+1)}[/tex] et  [tex]\|y'-y\| \leq \frac 1{3(n+1)}[/tex]. Je te laisse terminer en remarquant que : [tex]\|x'-y'\| \leq \|x'-x\|+\|x-y\| + \|y-y'\| [/tex].

sarra

Invité

Re : diametre d'une partie

bonjour mohammed,

cette preuve est-elle vraie si A est un ensemble de Rn?
et pourquoi A doit être bornée?

Merci

Dernière modification par yoshi (27-09-2014 16:03:08)

Fred

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Re : diametre d'une partie

Je réponds pour Mohammed.
* Sa démonstration est en particulier valide pour un ensemble de [tex]\mathbb R^n[/tex].
* Si A n'est pas bornée, son diamètre vaut l'infini, et celui de son adhérence, qui est plus gros, aussi.

Fred.