Suite numérique

ali55 · 22-09-2014 10:34:05

Bonjour

merci de vérifier avec moi la réponse aux deux questions de la suite suivante:

Soit la suite définie par :[tex]u_n=\frac{n+1}{n-6}[/tex]
1/ Calculer les trois premiers termes de cette suite
2/ montrer, pour n entier, on a : [tex] 1\leq u_n\leq8[/tex]

Pour répondre à la question 1, il faut d'abord déterminer le domaine de définition qui est D={7;8;9;...} ou n>6
donc les 3 premiers termes sont
[tex]u_7=8[/tex], [tex]u_8=\frac{9}{2}[/tex] et [tex]u_9=\frac{10}{3}[/tex]

pour la 2ème question, la suite (Un) étant décroissante avec 1er terme = 8 et sa limite quand n tend vers + infini est 1
j'en déduit l'encadrement demandé à savoir
[tex] 1\leq u_n\leq8[/tex], pour tout [tex]n\geq7[/tex]

merci pour vos réponses

Dernière modification par ali55 (22-09-2014 10:53:51)

ymagnyma · 22-09-2014 15:08:58

Bonjour, si tu prouves d'une part que [tex](u_n)[/tex] est décroissante, d'autre part qu'elle est convergente vers 1, alors oui, tu as une preuve de l'encadrement.

En général, l'idée est de prouver que [tex](u_n)[/tex] converge en montrant qu'elle est décroissante et minorée, puis de calculer sa limite.
En même temps, ici, on peut étudier directement la convergence, donc, ta méthode me semble plus que convenable.

ali55 · 22-09-2014 15:37:42

la suite est décroissante car [tex] u_{n+1}-u_n=\frac{-7}{(n-5)(n-6)}[/tex] est négatif ([tex]n\geq7[/tex])
et comme limite est 1 pour n tendant vers l'infini on btient le résultat recherché et donc pas besoin de montrer qu'elle est minorée

et pour la 1ere question, pas d'avis, le domaine défintion est il correct

yoshi · 22-09-2014 15:57:52

Bonjour,

et pour la 1ere question, pas d'avis, le domaine définition est il correct ?

Je dirais oui à la première question si j'ai lu la 2e...
Et ça, vois-tu, ça me gène !
N'as-tu jamais rencontré de suite avec des termes négatifs ?
Avec ton énoncé et ta première question, qu'est-ce qui m'empêche de prendre n=0 ou n=2 ?
En d'autres termes, ton énoncé est-il complet ?

@+

ali55 · 22-09-2014 16:57:23

merci pour la réponse

il y a la question de la monotonie intercalée entre les 2 et que j'ai sauté pour pas surcharger à part ça non

pour la suite j'ai pas saisi tes interrogations

on peut pas calculer pour n=0 , 1, 2, 3, 4 ou 5 car ces nombres ne font pas partie du domaine de définition de la suite
c'est là peut être le piège de cet exercice et c'est quand j'ai vu qu'on pouvait pas avoir [tex]u_6[/tex], j'en ai déduis que
[tex]u_7[/tex],[tex]u_8[/tex] et [tex]u_9[/tex] sont les trois 1ers termes de cette suite et non pas[tex]u_0[/tex][tex]u_1[/tex]et [tex]u_2[/tex]

yoshi · 22-09-2014 18:36:53

Re,

on peut pas calculer pour n=0 , 1, 2, 3, 4 ou 5 car ces nombres ne font pas partie du domaine de définition de la suite

Ma question était : pourquoi élimines-tu tous les [tex]n \in [0\;;\;5][/tex] ? Et tu me réponds parce qu'ils ne sont pas dans le domaine de définition (sinon tu tournes en rond)...
J'ai donc une 2e question pour toi : pourquoi le domaine de définition ne comprend-t-il pas 0,1,2,3,4,5 ?

On ne dit pas quelque part que [tex]u_n[/tex] est une suite à termes positifs ? N'y a-t-il pas un mot, une expression permettant d'éliminer ces valeurs ?
La seule raison que donne ton énoncé est dans la 2e question parce qu'avec n=0, 1, 2, 3, 4 ou 5 les termes sont négatifs et dans ce cas on n'a plus [tex]1\leqslant u_n\leqslant 8[/tex].
Mais je ne peux pas répondre dans la 1ere question en disant que j'élimine ces valeurs de n parce que sinon la 2e question est fausse !!!
C'est interdit !

Alors ?
n = 6, d'accord pas de discussion...
Mais les autres ?
Le seul point commun, c'est que [tex]u_0,\; u_1,\;u_2,\;u_3,\;u_4,\;u_5[/tex] sont négatifs.
Qu'est-ce qui dans l'énoncé l'interdit ?

Parce que les suites avec des termes négatifs, ça existe, la preuve, en voilà une : [tex]n\in\mathbb{N},\;u_n=\frac{1}{(-2)^n}[/tex]

Ton domaine est très probablement exact, mais je cherche une justification que je ne trouve pas (peut-être que quelque chose m'échappe)..

@+

ymagnyma · 22-09-2014 18:54:16

Bonsoir
Une suite est une application de [tex]\{n \in \mathbb{N} ; n \ge n_0\}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] où [tex]n_0[/tex] est fixé de telle sorte que à partir de [tex]n_0[/tex], tous les termes sont bien définis. Comme n=6 pose problème, peu importe que techniquement [tex]u_0[/tex] ... [tex]u_5[/tex] soient calculables, on définira la suite à partir de [tex]n_0 =7[/tex].

yoshi · 22-09-2014 19:00:14

Salut,

Et merci...
MAIS

Comme n=6 pose problème, peu importe que techniquement [tex]u_0[/tex] ... [tex]u_5[/tex] soient calculables, on définira la suite à partir de [tex]n_0 =7[/tex].

me paraît très capillotracté !
Trouve-moi une définition dans un manuel quelconque où ce la est écrit noir sur blanc.
Et là, je m'inclinerai.
J'ai cherché, j'ai juste lu Wikipedia qui n'a pas apporté de réponse...
Je vais reprendre mes recherches : j'aurais dû commencer par mon bouquin de Term.

@+

ali55 · 22-09-2014 20:15:37

Merci ymagnyma de confirmer mon résultat

yoshi · 22-09-2014 20:17:11

Bonsoir,

ali55 a écrit :

Par contre, d'après ce que j'ai compris des suites numériques, au niveau de l'ensemble de départ, il devrait pas y avoir de "trous" (dans notre exercice le 6 manque).

Oui, d'accord, c'est la seule explication plausible...
Mais ta formulation, c'était un peu comme un chien qui cherche à se mordre la queue...
Mais le conditionnel ne me satisfait pas : je veux une définition claire, nette et sans ambigüité...
Mon bouquin de TS expédie ça en une ligne...
Alors, j'ai pris celui de 1S qui me dit :

Définition : on appelle suite réelle toute fonction u de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
On note : [tex]\begin{cases}\mathbb{N} \to \mathbb{R}\\ n \mapsto u(n)=u_n\end{cases}[/tex]

Et j'ai cherché la définition générale d'une fonction :

Une fonction d'un ensemble E dans un ensemble F, à tout élément x de E associe au plus un élément y de l'ensemble F.

Là le point intéressant c'est le :
"à tout élément de E"...

Cela dit, la définition de suite réelle soulève 2 questions
- elle ne parle pas de "trous" sous une forme ou une autre
- elle ne dit pas clairement que dans une suite réelle tout élément de [tex]\mathbb{N}[/tex] a une image au plus dans [tex]\mathbb{R}[/tex].

Seule la définition générale d'une fonction laisse entendre que l'ensemble de départ n'a pas de "trous" comme tu dis...

Mais je n'aime pas ça. J'ai un défaut : j'aime les définitions qui ne laissent pas de place à l'interprétation..
Tant que je n'aurai pas ça, je chercherai...

ali55 a écrit :

Merci ymagnyma de confirmer mon résultat

Remerciement ou pour avoir confirmé ton résultat ou merci de bien vouloir confirmer mon résultat ?
Quoi qu'il en soit, tes résultats sont exacts. Ai-je dit le contraire ?

Petite remarque quand même :

la suite est décroissante (...) et comme la limite est 1 pour n tendant vers l'infini on tient le résultat recherché et donc pas besoin de montrer qu'elle est minorée

Et si moi, en bon "pince-sans-rire", je dis :
la suite est décroissante (...) et comme d'après la 2e question [tex]1\leqslant u_n[/tex] pour tout n du domaine de définition, alors elle est minorée, donc on tient le résultat recherché et donc pas besoin de montrer qu'elle a une limite ;-)
tu me réponds quoi ?

@+

ali55 · 22-09-2014 20:48:27

J'ai pas compris ta dernière observation

Si en plus la definition donnée par notre ami ymagnyma n'arrive pas à te convaincre. Cette
définition il l'a pas crée, elle est presente dans pas mal de cours sur les suites. Consulte Wikipedia par exemple

Pour la suite on parle d'application d'un ensemble d'entier sup ou egal à no! C'est à partir de là que
j'ai deduit l'impossibilité d'avoir "des trous" dans le domaine de def

Et pour pas faire de jaloux....Merci à toi aussi pour l'intérêt

Ps:J'ai corrigé mon message j ai pas vu "au plus"... donc ta définition de la fonction est OK

Dernière modification par ali55 (23-09-2014 08:45:10)

yoshi · 22-09-2014 21:23:58

Re,

Consulte Wikipedia par exemple

Je ne t'ai pas attendu pour le faire et plutôt que wikipedia, je consulte mes manuels. En plus, je te l'ai écrit...

La definition de la fonction n'est pas exacte A ne pas confondre avec application yoshi !

S elle l'est coco, c'est toi qui fait erreur, tu t'engages en terrain miné.

J'ai assez travaillé avec fonction et application pour en être sûr : autrefois, du temps des programmes des "Maths modernes", je l'ai enseigné à des élèves de 5e, comme aussi les Barycentres aux 4e (au passage, c'était un non-sens)...
En outre, quand mes souvenirs datent un peu, je vérifie pour ne parler à la légère. Et c'est ce que j'avais fait... ^_^
Au plus une image = une image au maximum, donc une ou aucune.
Au plus [tex]\neq[/tex] "plus de"...
Des éléments de l'ensemble de départ peuvent n'avoir aucune image dans l'ensemble d'arrivée.

Dans une application, tout élément de l'ensemble de départ a une image et une seule dans l'ensemble d'arrivée. Ce qui n'interdit pas à un élément de l'ensemble d'arrivée de ne pas avoir d'antécédent, ni d'avoir plusieurs antécédents... Après les applications peuvent être injectives, surjectives. Quand ces deux propriétés sont vérifiées, on a une bijection !

Et le problème n'est pas la jalousie mon gars (quelle drôle d'idée) j'ai dit que ta phrase pouvait s'interpréter comme un appel à ymagnyma pour qu'il te dise que tes résultats sont bons et parce que moi je te disais qu'ils étaient faux (ce qui est inexact, j'ai toujours dit ok).
Je ne te reprochais pas de ne pas me remercier : celui qui ne le fait pas est un ingrat qui ne mérite pas qu'on l'aide. Aucun rapport avec la jalousie.

Quant à ce qu'a dit ymagnyma, tu devrais faire la différence entre les définitions qu'il donne (j'ai les mêmes) et les commentaires qu'il ajoute...

ymagnyma · 23-09-2014 08:55:17

Bonjour,
effectivement, mes commentaires d'une définition donnée ne sont pas toujours pertinents, mais la question est de savoir quel type de suites on veut étudier, celle que propose ali55 n'est pas du même intérêt que la suite [tex](v_n)[/tex] définie sur l'ensemble des entiers pairs par [tex]v_n = \frac{\sqrt n}{1+(-1)^n}[/tex]. Là, des trous, il y en a tout plein.
L'idée, à mon humble avis, dans la définition de suite définie à partir d'un certain rang, est d'étudier une suite "au comportement stable", à savoir, à mon avis, sans valeur interdite, éventuellement monotone dans le cas où une monotonie finie par se présenter.
Mais pour reprendre cette suite [tex](v_n)[/tex], posons [tex]w_k=v_{2k}[/tex] et w est définie pour tout entier k. Plus de trous.

Bref, je ne trouve pas non plus de définition interdisant, dans l'exemple de d'Ali55 de parler de [tex]u_0[/tex] ... [tex]u_5[/tex], mais, sans autres précision dans l'énoncé, rien n'empêche de considérer la suite comme définie à partir du rang [tex]n=7[/tex]. Il a alors une suite sans valeur interdite et monotone, il se place ainsi dans un cadre d'étude bien balisé.

Dernière modification par ymagnyma (23-09-2014 08:55:50)

yoshi · 23-09-2014 09:54:35

Salut,

Bref, je ne trouve pas non plus de définition interdisant, dans l'exemple de d'Ali55 de parler de u0 ... u5 , mais, sans autres précision dans l'énoncé, rien n'empêche de considérer la suite comme définie à partir du rang n=7 . Il a alors une suite sans valeur interdite et monotone, il se place ainsi dans un cadre d'étude bien balisé.

Oui, bien sûr et c'est bien ce à quoi incite la 2e question : à partir de cette question, il n'y plus d'ambigüité possible : c'est bien ainsi qu'il faut procéder.
Ce n'est pas un problème de pertinence de commentaires (à partir de quel moment un commentaire est-il non pertinent ? Je n'avais encore décortiqué la définition d'une suite, je m'étais contenté de travailler avec), mais plutôt un problème de rédaction d'énoncé (ce n'est d'ailleurs pas la première fois).
J'estime que celui-ci aurait mérité d'être légèrement précisé.
Probablement que son concepteur n'a pas envisagé la possibilité de tomber sur des "coupeurs de cheveux en quatre" dans mon genre.
Reste la possibilité que ce soit volontaire.
Dans ce cas, je trouve cela gênant.

@+

[EDIT]
Je viens de trouver ceci :
http://webusers.imj-prg.fr/~sylvie.dela … M1/PM1.pdf p. 15 :

2.1 Suites numériques
On suppose que [tex]\mathbb{K}[/tex] est l’un des corps [tex]\mathbb{R}[/tex] ou [tex]\mathbb{C}[/tex].
2.1.1 Définition. Une suite numérique [tex](s_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] est une application [tex]n \mapsto s_n[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex] dans K.

Et là, il est dit application...
Que l'on parle de fonction ou d'application, de toutes façons il y a "tout élément de l'ensemble de départ" dans les deux...
Dans wikiversity, après des définitions, j'ai trouvé des commentaires, disant qu'il fallait partir d'un sous-emble de nombres consécutifs.
Et on revient au point de départ...

ali55 · 23-09-2014 12:36:50

bonjour

moi aussi cette histoire de domaine de définition m'a aussi travaillé un bon bout de temps. C'est pour ça que j'ai proposé l'exercice dans ce forum.

en premier j'ai commencé à calculer U0 U1 U3 comme étant les 3 1ers termes de la suite mais je me suis rendu compte

que pour n = 6, U6 n'aurait pas d'antécédent! Là y avait problème d'autant plus que la question à venir était de démontrer une décroissance!

Alors j'ai bouquiné (eh oui Yoshi moi aussi!), j'ai consulté pas mal de doc et cours du lycée aux classes prepa! Mais c'est vrai, la grande majorité ne s'attarde pas sur le domaine de définition considérant ce dernier comme un élément de détail et l'important d'une suite c'est de connaitre son allure quand n est de plus en plus grand. Mais comme on dit "le diable se cache dans le détail!"

Bref après m'être documenté (et c'est vrai seul wikinivest en parle en détail) j'ai trouvé qu'il y avait deux termes forts qui revenaient souvent et qui m'ont poussé à résoudre l'exercice en prenant comme domaine départ {7;8;9;....}.

D'abord le terme application (chaque élément de l'ensemble de départ a une image dans l'ensemble d'arrivée !)

et ensuite la notation suivante : [tex](u)_{n\geq{n_0}}[/tex]

donc il y a "application" à partir d'un ensemble "où n est plus grand ou égale qu'un entier n0" , ça m'a convaincu (à la différence de Yoshi!) de resoudre mon exercice comme je l'ai fait

à plus

yoshi · 23-09-2014 13:59:49

Ave,

ça m'a convaincu (à la différence de Yoshi!) de resoudre mon exercice comme je l'ai fait

Bon, t'es un peu dur de la "comprenette", hein ?
Alors je vais devoir recommencer :
1. Depuis le début, j'ai dit que je ne vois pas d'autre début possible que de commencer à [tex]u_7[/tex] sinon la 2e question n'a pas de sens...

2. Je ne t'ai jamais dit de résoudre ton exercice autrement. Je te mets au défi de prouver le contraire.

3. Depuis le début, je t'ai questionné sur les raisons qui t'ont poussé (c'est toi qui résous l'exercice et demande notre avis) à commencer à [tex]u_7[/tex].
Pourquoi ? Parce que j'ai eu l'impression (à tort ?) que, pendant un moment, ta réponse se résumait à :
Le Domaine de définition est [tex]D=[7,8...+\infty[[/tex] parce que j'élimine 0,1,2,3,4,5,6.
Et j'élimine 0,1,2,3,4,5,6 parce qu'ils ne sont pas dans D...

4. Depuis le début, je dis qu'hélas aucune définition d'un manuel n'évoque ce cas.
Les commentaires qui vont avec certaines sources, oui.
Mais comme disait un Inspecteur de mathématique et que j'applique auxdits commentaires :
Les seules références valables sont les définitions, les commentaires ne sont que de la "littérature" (c'était une boutade provocatrice).

5. [tex](u)_{n\geq{n_0}}[/tex] : je n'ai jamais rencontré cette notation... Qu'y puis-je ?
Peux-tu me donner la référence de la définition (et pas du commentaire) du cours dans lequel la définition donnée comporte cette notation ?

J'ai demandé l'avis de Fred.

@+

[EDIT]
Je viens de trouver cela :
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/an … 01_01.html
Hélas, c'est encore un commentaire...

Dernière modification par yoshi (23-09-2014 14:13:11)

Fred · 23-09-2014 14:47:12

Hello,

Je crois que ce n'est pas la peine de se battre pour un exercice extrêmement mal posé!!!

Si je veux faire les choses très rigoureusement, une suite, c'est une fonction de N dans R (ou C), et je devrais déterminer son domaine de définition. Ici, c'est clairement N\{6}, et la réponse à la première question devrait être le calcul de [tex]u_0,u_1,u_2[/tex].
Mais alors, évidemment, la deuxième question n'a pas de sens.
D'ailleurs, elle n'a jamais de sens puisque [tex]u_6[/tex] n'est pas défini.

Il faudrait poser l'exercice en disant : pour [tex]n\geq 7[/tex], on pose...
Puis calculer les trois premiers de la suite (plus d'ambiguïté), puis démontrer que pour tout [tex]n\geq 7[/tex], on a.....

Je ne sais pas où Ali55 a trouvé cet énoncé, mais il est vraiment mal fichu.

Fred.

yoshi · 23-09-2014 15:00:36

Re,

Merci.
Me v'la rassuré.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 22-09-2014 10:34:05

Suite numérique

#2 22-09-2014 15:08:58

Re : Suite numérique

#3 22-09-2014 15:37:42

Re : Suite numérique

#4 22-09-2014 15:57:52

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#5 22-09-2014 16:57:23

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#6 22-09-2014 18:36:53

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#7 22-09-2014 18:54:16

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