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pipop

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exercice sur l'indicatrice d'euler

Bonjour ,
je bloque sur la derniere question de l'exercice 4 de cette feuille http://www.bibmath.net/exercices/bde/arithm/znzind.pdf ;
dans la correction ( http://www.bibmath.net/exercices/bde/arithm/znzcor.pdf ) il est ecrit : "Il est clair que les ensembles Ad, pour d|n, forment une partition de {1, . . . , n}. " mais pour moi ce n'est pas clair du tout ,j'ai essayé de retourner le problème dans tout les sens je ne comprend pas pourquoi leur union forment une partition de {1, . . . , n} car par exemple si n est impair 2 ne divide pas n il ne fait pas partie des Ad ... d'autre part je ne comprend pas aussi pourquoi l'intersection de 2 Ad serait l'ensemble vide .
merci de me répondre . Et je suis désolé si ma question parait stupide .

Choukos

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Re : exercice sur l'indicatrice d'euler

Bonjour,
Comme tu le dis, si n est impair alors 2 ne divise pas n. Donc on ne considère pas [tex]A_2[/tex]. Mais ! ça ne signifie pas que 2 n'appartient pas à un autre [tex]A_d[/tex] !!
En particulier, 2 est premier avec n donc 2 appartient à [tex]A_1[/tex].

pipop

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Re : exercice sur l'indicatrice d'euler

Bonjour,
Comme tu le dis, si n est impair alors 2 ne divise pas n. Donc on ne considère pas [tex]A_2[/tex]. Mais ! ça ne signifie pas que 2 n'appartient pas à un autre [tex]A_d[/tex] !!
En particulier, 2 est premier avec n donc 2 appartient à [tex]A_1[/tex].

merci,je vois un peu mieux mais qu'est ce qui me garanti que c'est une partition ?

Choukos

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Re : exercice sur l'indicatrice d'euler

Re,
Soit [tex]k \in \{ 1, \dots , n \} [/tex].
Le pgcd entre k et n est un diviseur de n, donc k appartient à l'un des [tex]A_d[/tex]. Et supposons que l'intersection de deux [tex]A_d[/tex] soit non vide, pour un k appartenant à [tex]A_d[/tex] et à [tex]A_d'[/tex] avec [tex]d \neq d'[/tex] on a d=pgcd(k,n)=d', contradiction.

Dernière modification par Choukos (22-09-2014 01:34:26)