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Marjorie

Invité

calculer les coordonnées du sommet d'une parabole

Bonjour à tous, mon problème comme je l'ais indiquée concerne un calcul de sommet d'une parabole. La fonction en question est définie sur [0;3] par f(x) = -5x²+10x+15 et la question est : Calculer les coordonnées du sommet de la parabole représentant f.

Si vous pouvais m'aider, il ne faut pas hésiter :)

yoshi

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Re : calculer les coordonnées du sommet d'une parabole

Salut Marjorie,

Il y a plusieurs niveaux de réponse selon ce que tu as déjà vu en classe, ce que nous, nous ne savons pas...
Méthode 1
(As-tu vu cela ?)
[tex]-5x^2+10x+15 = -5(x^2-2x-3)[/tex] (1)
[tex]x^2-2x[/tex] doit faire penser à [tex](x-1)^2[/tex]
Mais [tex]x^2-2x+1 = (x-1)^2[/tex] et non [tex]x^2-2x[/tex]...
Alors on écrit (en changeant le +1 de membre) :
[tex]x^2-2x= (x-1)^2-1[/tex]
et on remplace dans (1) :
[tex]-5x^2+10x+15 = -5(x^2-2x+3)=-5[(x-1)^2-1-3=-5[(x-1)^2-4][/tex]
que j'écris enfin :
[tex]-5x^2+10x+15 =-5(x-1)^2+4 = 4-5(x-1)^2[/tex]
La toute dernière écriture est plus claire...
Là, tu peux constater que [tex]5(x-1)^2[/tex] est minimum si x = 1.
Et si [tex]5(x-1)^2[/tex] est minimum alors [tex]4-5(x-1)^2[/tex] est maximum.
Ta parabole passe par un maximum qui est le sommet recherché...

Méthode 2
Avec la dérivée : [tex]f'(x)=-10x+10[/tex] qui s'annule pour x = 1...
Pour x <1, f'(x)>0 et pour x> 1 f'(x)<0
Ta fonction f est d'abord croissante de 0 à 1 puis décroissante de 1 à 3.
Conclusion ?

Méthode 3
(Héritée de la seconde)
si on a [tex]x_2>x_1[/tex] et [tex]f(x_2)> f(x_1)[/tex] alors f est croissante,
si on a [tex]x_2> x_1[/tex] et [tex]f(x_2)< f(x_2)[/tex] alors f est décroissante.
[tex]f(x_2)=-5x_2^2+10x_2+15[/tex]
[tex]f(x_1)=-5x_1^2+10x_1+15[/tex]
et :
[tex]f(x_2)-f(x_1)=-5x_2^2+10x_2+15+5x_1^2-10x_1-15=-5x_2^2+5x_1^2+10x_2-10x_1=-5(x_2^2-x_1^2)+10(x_2-x_1)[/tex]
Je factorise (x_2^2-x_1^2) puis je mets -5(x_2-x_1) en facteur :
[tex]f(x_2)-f(x_1)=-5(x_2-x_1)(x_2+x_1-2)[/tex]
Quel est le signe de [tex]f(x_2)-f(x_1)[/tex] ?
[tex]x_2-x_1[/tex] est + et comme -5 est -, le signe sera l'opposé de celui de [tex](x_2+x_1-2)[/tex]
Donc quel est le signe de [tex](x_2+x_1-2)[/tex] ?
si [tex]0<x_1<x_2<1[/tex] alors x_2+x_1 <2 et [tex]x_2+x_1-2<0[/tex] donc [tex]-5(x_2+x_1-2)>0[/tex] donc sur [0 ; 1] [tex]f(x_2)>f(x_1)[/tex] et f est croissante.
On montrerait facilement que pour[tex] 1<x_1<x_2[/tex] alors f est décroissante.
Le sommet étant l'extremum de la parabole, il a pour abscisse x = 1...

@+

Marjorie

Invité

Re : calculer les coordonnées du sommet d'une parabole

Merci pour ta réponse yoshi , je vais utiliser la méthode n°3 mais j'aimerais comprendre la deuxième, je comprend la fin mais pas le début ? Est-ce que tu pourrais m'expliquer, si ça ne te dérange pas

yoshi

Modo Ferox

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Re : calculer les coordonnées du sommet d'une parabole

Bonjour,

Je veux bien, mais... si tu n'as pas vu en cours ce qu'est une dérivée et comment la calculer, ça pose un problème !
Tu verras ça en cours en son temps...
Je vais prendre quelques raccourcis assez importants : faire un cours sur les dérivée ne peut se faire en quelques lignes, tu t'en apercevras le moment venu. Donc, je préfère annoncer la couleur.
Si tu prends deux points de coordonnées A(x1;y1) et B(x2;y2) sur une courbe et que tu rapproches régulièrement A de B (on dit faire tendre A vers B, ou faire tendre [tex]x_1[/tex] vers [tex]x_2[/tex]) en restant sur la courbe, que devient ta droite (AB) ?
Elle tend vers la tangente en B à la courbe...
Si le coefficient directeur de cette tangente est >0 la courbe est croissante, s'il est = 0, cette tangente est horizontale et tu as là un extremum (= maximum ou minimum), si le coefficient directeur est <0, la courbe est décroissante...
Savoir si elle croît, puis décroît ou bien qu'elle décroît puis croît permet de dire si cet extremum est dans l'ordre cité avant un maximum ou un minimum.
Disons que le calcul de ce qu'on appelle la "dérivée" permet de connaître le signe de ce coefficient directeur (donc la croissance/décroissance de la courbe et la valeur de x pour laquelle la tangente est horizontale donc pour laquelle, il y a un extremum.
Et tu apprendras par cœur les techniques de calcul des dérivées

Est-ce que ça te suffit ?
La méthode n°3 a été employée en 2nde pour trouver les variations d'une fonction "simple" par le calcul...
Cette méthode est pénible et sera abandonnée cette année au profit de la méthode 2 laquelle "dérive de la 3).
Par contre la définition de croissance/décroissance demeure...

Tu n'as vraiment pas vu encore la technique employée en méthode 1 (utiliser la forme canonique) ? C'est pourtant la plus appropriée si tu n'as pas appris à calculer une dérivée...

Quand cela a été vu en cours, on sait ensuite que le sommet (nom de ce  point qu'il soit un maximum ou un minimum) d'une parabole d'équation [tex]y =ax^2+bx+c[/tex] a toujours pour abscisse [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex]...

@+