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MarieC

Invité

normes

Bonjour,
soit || ||₁ , || ||₂ et || ||_inf des normes.

montrer que l'inégalité suivante est valable pour tout v E ( = appartient ) R². Prouver grave à des exemples que cette inégalité ne peut être améliorée.

(1/V2) || v||₁<= ||v||₂ <= ||v||₁                  V= racine carrée

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment résoudre cet exercice,
Merci d'avance,

Marie

Fred

Administrateur

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Re : normes

Bonjour,

  Evidemment, tes normes ne sont pas des normes quelconques, tu as
[tex]\|(x,y)\|_1=|x|+|y| [/tex]
tandis que
[tex]\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2} [/tex]

Démontrer l'inégalité de droite, c'est démontrer que, pour tous réels x et y, on a
[tex] \sqrt{x^2+y^2}\leq |x|+|y| [/tex]
Cette inégalité est équivalente à
[tex]x^2+y^2\leq (|x|+|y|)^2[/tex]
et en développant, tu montres assez facilement (?) que cette inégalité est vraie. Pour l'inégalité de gauche,
on peut procéder exactement de la même façon. Tu auras besoin de prouver que
[tex] 2|x| |y|\leq x^2+y^2 [/tex]

Pense alors à développer [tex] (|x|-|y|)^2[/tex]...

Fred.

MarieC

Invité

Re : normes

Bonsoir,
je suis partie de l'inégalité elle meme pour la partie de gauche, pour arriver à 0<= (x-y)² ce qui est vrai et la droite c'est trivial ( j'ai tout mis au carré )
par contre j'ai plus de  difficulté pour prouver grave à des exemples que cette inégalité ne peut être améliorée.
Je ne suis meme pas sure de comprendre vraiment le sens de cette question
Cordialement,

Marie

Fred

Administrateur

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Re : normes

Dire que l'inégalité (disons de droite) ne peut pas être améliorée, c'est dire qu'on ne peut pas trouver une constante [tex]k<1[/tex] tel que
[tex] \|v\|_2\leq k\|v\|_1 [/tex]

Par exemple, calcule les deux normes de v=(1,0).

Pour l'inégalité de gauche, calcule la norme de v=(1,1)

Pourquoi ces exemples? Parce que comme tu l'as remarqué, l'inégalité de gauche est conséquence de [tex](x-y)^2\geq 0[/tex]...
et s'il y a égalité dans cette inégalité, alors il y a aussi égalité dans l'inégalité de départ. Voilà pourquoi j'ai choisi un exemple avec x=y.

F.